第八章 平面解析几何（模块综合调研卷）（A4版-教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第八章平面解析几何（基础卷）（模块综合调研卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线与直线垂直，则，解得，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.2．已知直线与圆交于两点，且，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离．因为，所以，即，解得.故选：D.3．在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出直线的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线与两渐近线方程，得到点坐标，结合的中点为，可得结论．【详解】

直线的斜率不存在时，应该在轴上，不符合题意，直线的斜率为0时，两点重合，不符合题意，所以直线的斜率存在且不为0，设直线，双曲线的两条渐近线方程分别为，联立解得，不妨令，联立，解得，则，因为线段的中点为，所以，即，②式两边分别平方得③，将①代入③并化简可得，所以离心率.故选：D．4．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.【详解】直线，令，解得，所以直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，且，即在圆内，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：A.5．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为则故选：B6．设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】假设，，,利用中点坐标公式与两点距离公式代入即可求得轨迹方程.【详解】设，，，因为为的中点，则，故，，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为．故选:A.7．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，又由圆，可化为，可得圆心坐标为，半径，设定点，满足成立，且即恒成立，其中，代入两边平方可得：，解得，所以定点满足恒成立，可得，如图所示，当且仅当在一条直线上时，此时取得最小值，即，设，满足，所以，，当时，等号成立，故选：C.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解.8．设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为，先根据题意得出点P的坐标，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为，则，又，所以，又点P在第一象限，且在直线上，所以，又点P在椭圆上，所以，即，整理得，两边同时除以，得，解得，因为，所以，同理可得点P在双曲线上，所以，即，解得，所以，故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．已知动点分别在圆和上，动点在轴上，则（

）A．圆的半径为3B．圆和圆相离C．的最小值为D．过点做圆的切线，则切线长最短为【答案】BD【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，圆的半径为，A错误；对于B，，圆和圆相离，B正确；对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，由圆的性质得，，当且仅当点与重合，且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；对于D，设点，过点的圆的切线长，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD

10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以为直径的圆过焦点F，，则（

）A．若，则 B．若，则C．，则 D．，则【答案】ACD【分析】由题意，利用抛物线的定义以及相似即可判断AB；结合抛物线的定义及三角形全等即可判断BD.【详解】设在上的投影为，与轴交于点，因为，两点均在抛物线上，所以，因为，,故,所以，解得，故选项A正确；对于B，时，，,结合，,,所以，解得，故B错误；对于C:设点在上的投影为，此时，，所以，因为，所以，即，则为等腰直角三角形，此时，故C正确；对于D，设点在上的投影为，此时，，所以，因为，所以，即，则为等边三角形，此时，则,，故D正确；故选：ACD．

【点睛】关键点点睛：以及垂直关系得.11．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率e可能为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】设出直线方程，分别与两渐近线联立，求得A,B两点坐标，根据两点间距离公式代入条件即可求解.【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为，依题意，直线的斜率为，且，Fc,0，则：，设，联立，可得，,设Ax1,y1，联立，可得因为，即，化简得，又，当时，，即，当时，，即，所以或.故选：BD..【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得点的坐标，从而得到关于的齐次方程，进而得解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为.

【答案】17【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.【详解】由，得，所以双曲线的焦点坐标为，由圆的方程知：圆圆心的坐标为C1(−5,0)，半径，圆圆心的坐标为C2(5,0)，半径，分别为两圆切线，，，为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，又（当为双曲线右顶点时取等号），，即的最小值为.故答案为：17.13．已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为.【答案】【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解.【详解】如图，，显然四边形是矩形，所以，由题意，，所以，设，则，所以，又点P在第一象限，所以，故，即，所以，椭圆C的离心率，由可得，又，所以，故.故答案为：.14．已知A，B是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过向直线作垂线，垂足为H，求的最大值为.【答案】【分析】结合向量垂直的性质，推得，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，运用韦达定理，求出直线所过定点，再结合圆的性质，即可求解，【详解】依题意，设，，以AB为直径的圆过原点，则，解得，易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，联立，化简整理可得，所以，解得，故直线恒过定点，因为，，则，，，四点共圆，即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为，故的最大值为该圆的直径，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量垂直的性质与韦达定理求得直线所过定点，从而得解.四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解；（2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解.【详解】（1）因为，所以.又设，因为，所以.而圆心不在坐标轴上，从而，所以.所以，又，所以.（2）设直线，与联立，化简并整理得：，其中.设，所以，即点坐标为.因为，所以，而，即，解得.因此，所以.16．已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为F1−c,0，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．(1)求椭圆的离心率；(2)设和的面积分别为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线的焦点为F1−c,0，知，由结合抛物线的定义表示出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程化简求解离心率即可，（2）设出椭圆的方程，设直线为代入椭圆方程化简，转化求解的横坐标，然后求解面积之比即可.【详解】（1）由抛物线的焦点为F1−c,0，知，所以抛物线方程为，准线方程为，因为，所以，得，所以，所以，所以点的坐标为，点在椭圆上，所以，，所以，，化简整理得，所以，，解得（舍去），或，所以；（2）由（1）知，则，所以椭圆方程为，因为的坐标为，F1−c,0，所以，所以直线为，由，得，化简整理得，所以，得，或，所以，，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和抛物线的综合问题，考查椭圆离心率的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积关系，第（2）问解题的关键是将转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.17．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，且焦距为，从而可求出曲线的方程；（2）由条件可设：，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当时，可求得，则的平分线为定直线，从而可得结论.【详解】（1）圆的圆心为，半径，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，设双曲线的方程为，则，.所以，，又不可能在轴上，所以曲线的方程为.

（2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上.证明如下：由条件可设：.代入，得，设，，则，得m2≠2所以所以，取，则又，都在轴上方，所以的平分线为定直线，所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关键是取，通过计算，可得定直线为，考查数学计算能力，属于较难题.18．已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）关键抛物线的定义可得，求出p即可求解；（2）设，将直线和直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示，，进而可得、，由中点坐标公式与斜率公式可得和，则，当时最大，由两角差的正切公式和换元法可得，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为，由抛物线的定义知，，又，所以，所以抛物线C的方程为；（2）由（1）知，，设，则，设直线，由可得，，则，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，由斜率公式可得，，又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为，所以，若要使最大，需使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为.【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.19．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.（i）求证：为定值，并求出该定值；（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析，；（ii）【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论；（ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解.法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可.【详解】（1）