第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷（文科），第12题,5分由弦中点求弦方程或斜率已知方程求双曲线的渐近线讨论双曲线与直线的位置关系2022年新Ⅱ卷，第16题,5分由中点弦求弦方程根据弦长求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数根据双曲线的渐近线求标准方程2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算2.会用点差法求解相关问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py04.中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b5.椭圆其他斜率形式拓展椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b化简可得y1+考点一、椭圆中的中点弦问题1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为．3．（全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝11．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为．3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．考点二、双曲线中的中点弦问题1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．34．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为．5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．考点三、抛物线中的中点弦问题1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）A．3 B．4 C． D．2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点重合(如图).（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；（2）求线段中点的坐标；（3）求所在直线的方程.1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．−22．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若MF=NF，则点N的横坐标为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为.7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段AB的中点坐标为，则椭圆的离心率为三、解答题8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：(1)线段AB的长；(2)AB的中点M的坐标．9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.一、单选题1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若点P在直线l上，且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则．6．（2022高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为.四、解答题7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.(1)抛物线的方程；(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为．(1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；(2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程．1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p=116，求抛物线（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为