第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷（文科），第12题,5分由弦中点求弦方程或斜率已知方程求双曲线的渐近线讨论双曲线与直线的位置关系2022年新Ⅱ卷，第16题,5分由中点弦求弦方程根据弦长求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数根据双曲线的渐近线求标准方程2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算2.会用点差法求解相关问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py04.中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b5.椭圆其他斜率形式拓展椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b化简可得y1+考点一、椭圆中的中点弦问题1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为．【答案】.【详解】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．3．（全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，的中点为，可得，运用“点差法”求解可得，代入求得结果.【详解】设，，的中点为，则，由点在椭圆上得，两式相减得，整理得，由，，即，将代入，解得，，所以.故选：D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为．【答案】【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.【详解】设弦为，Ax1,y则，两式相减并化简得，即，则，所以弦所在直线的方程为，即.故答案为：.3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．【详解】设，，，则，，，所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，所以，则，故选：D4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，由点差法求解离心率即可.【详解】设，则，则，两式相减可得，，即，即，，故.故选：B5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程.【详解】不妨设Ax1,两式相减可得，整理可得，根据题意可知直线的斜率为，由的中点坐标为可得；因此，可得，又焦点为可得，解得；所以椭圆的方程为.故选：A考点二、双曲线中的中点弦问题1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．【答案】B【详解】∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.【详解】设的中点，所以，易知，由点差法可得，若，此时，与双曲线联立，即与双曲线只有一个交点，故A错误；若，则此时，与双曲线联立，即与双曲线有两个交点，故B正确；若，则此时，与双曲线联立，即与双曲线有一个交点，故C错误；若，则此时，与双曲线联立，显然无解，即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设Ax1,y1【详解】设Ax1,y1，代入，得，两式相减得：.又线段AB的中点为点，则.则.经检验满足题意.故选：D3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率.【详解】设，则，且，所以，整理得到：，因为是弦的中点，所以，所以即所以，故选：A.4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为．【答案】【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．【详解】设Ax1,则，，又，，两式相减，得，即，整理得，直线l的斜率为，直线l的方程为，化简得，经检验满足题意.故答案为：.5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由，利用点差法求解.【详解】解：设，则，两式相减得，即，化简得，又，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D.6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；【答案】(1).(2).【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解；（2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；【详解】（1）由题意可得，，，则，又，，所以椭圆的标准方程为.（2）设Ax1,y1,Bx2,又因为两点在双曲线上，可得，两式相减得，化简整理得，即，所以直线的方程为，即，经检验，满足题意.7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．【答案】(1)(2)不存在这样的直线【分析】（1）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.（2）利用点差法求得直线的方程，联立直线的方程和点的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.【详解】（1）由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为．（2）设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得∵．∴不存在这样的直线．考点三、抛物线中的中点弦问题1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．【答案】B【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点重合(如图).（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；（2）求线段中点的坐标；（3）求所在直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得，进而求得抛物线方程和焦点坐标.（2）根据重心坐标公式列方程，求得，再由中点坐标公式求得的坐标（3）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为；（2）设，由于，由重心坐标公式得，化简得，所以中点的坐标为；（3）设所在直线斜率为，将代入抛物线方程得，两式相减并化简得，即，解得，所以直线的方程为，即.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题.1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．−2【答案】D【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解.【详解】解：设，因为直线与相交于A，B两点，所以，由题意得，故选：D2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长AB的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.【详解】抛物线的焦点的坐标为，由题意可知：直线的斜率不为，但可以不存在，且直线与抛物线必相交，可设直线的方程为，Ax1,联立方程，消去x可得，则，可得，即，设的中点为Px0,y0，则可知线段的垂直平分线方程为，因为在线段的垂直平分线上，则，可得，联立方程，解得，故选：B.3．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标.【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，故和直线垂直，所以，故，又，所以，故中点坐标是，即故选：B4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，设，可得，且，两式相减，可得，可得，所以直线的方程为，即.故选：A．5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设，代入抛物线方程两式相减可得，进而求得，由求得值.【详解】设，则两式相减，可得，所以，即，所以，所以，代入直线，得，所以，所以，解得.故选：B6．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若MF=NF，则点N的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，表示出，再由，可得列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】如图，由题意，得，准线：.设直线l的方程为（由题意，知k存在且），则点，.设线段MN的中点为E，则点，所以直线EF的斜率.由，得，所以，所以，整理得，解得，所以，所以点N的横坐标为.故选：C.一、单选题1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为Ax1【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为Ax1,y1,B又，两式相减得，整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：C.2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设，，则，两式相减得，即，∴.故选D.4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.【详解】设，代入抛物线，可得，两式相减得，所以直线的斜率为，又因为的中点为，可得，所以，即直线的斜率为.故选：C.5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解．【详解】设Ax1,y1则，所以，即，解得，所以，则，所以，故选：B．二、填空题6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为.【答案】/0.5【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.【详解】由题意，为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，

设，线段AB中点为，∴，，∴即∴直线AB的斜率为：故答案为：7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段AB的中点坐标为，则椭圆的离心率为【答案】/【分析】设，，，利用中点坐标公式得到直线斜率为，再利用得到即可求解.【详解】由题意设，，，则，两式相减可得：，因为：，，所以即直线斜率为，又直线斜率为，所以，即，由，得，即，得，得.故答案为：三、解答题8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：(1)线段AB的长；(2)AB的中点M的坐标．【答案】(1)8(2)（3，2）.【详解】解：（1）（解法1：求交点）由解得或所以AB＝＝8.（解法2：设而不求——弦长公式）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.由消去x并整理，得y2－4y－4＝0，所以Δ＝16＋16＝32>0，y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝6，所以AB的中点M的坐标为（3，2）.由求根公式得|y1－y2|＝＝4，所以AB＝＝|y1－y2|＝8.（解法3）（设而不求——焦半径公式）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.由消去x并整理，得y2－4y－4＝0.Δ＝32＞0，y1＋y2＝4.因为直线l经过抛物线的交点F（1，0），所以AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋p＝y1＋y2＋2＋2＝8.（2）由解法1知AB的中点M的坐标为（3，2）.【考查意图】直线被圆锥曲线截得弦长和弦中点问题的处理方法．9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程；（2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.【详解】（1）依题意得：，即，解得，解得椭圆的方程为（2）如图所示：

设，中点为，所以则又两点在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，①.过点斜率为的直线为.因为在直线上，故，②联立①②，解得所以中点坐标为.10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即一、单选题1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，所以，因为关于对称，所以，所以，由线段的中点的坐标为x1,y1，得出所以，又，∴，即，又，∴，所以所求离心率为.故选：C．2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】设Ax1,y1则，两式相减，得，故，即①．又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点，所以，又P在椭圆上，所以，即②．由①②，得，故直线的方程为，即．故选：B．3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率.【详解】设Ax1,两式相减得，即，又，所以，整理得，又，，所以，所以，所以椭圆的离心率.故选：D.二、多选题4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若点P在直线l上，且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用直线与双曲线的位置关系逐个选项分析即可.【详解】由A，B，P三点共线且直线OP把分成面积相等的两部分可得点P为线段AB的中点，选项A：数形结合可知，直线l的方程为时，点为AB的中点，故可以作为点P的坐标，A正确．已知双曲线()直线与双曲线交于，两点，AB的中点坐标为，则，，两式相减可得，，得选项B：由二级结论可得直线l的斜率，故直线l的方程为，联立得得，，不能作为点P的坐标，B错误．选项C：可得直线l的斜率，故直线l的方程为，联立得，得，，可以作为点P的坐标，C正确．选项D：可得直线l的斜率，故直线l的方程为，联立得得，，可以作为点P的坐标，D正确．故选：ACD【点睛】本题将中点弦问题和直线与双曲线的位置关系有机整合，设问角度新颖，重点考查数形结合思想和逻辑推理能力，需要考生将问题转化为判断直线与双曲线是否有两个交点的问题，逐一验证选项是否正确，考查考生灵活运用所学知识解决综合问题的能力，在注重考查基础知识的同时，对考生的思维能力要求较高，有较好的选拔功能．三、填空题5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则．【答案】【分析】设，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公式与，可得，即可得，后由抛物线定义可得AB，即可得答案.【详解】设，其中点为C，坐标为.将A，B两点代入抛物线方程，有，两式相减可得：，设，则，因，则.又F1,0，则.又准线方程为，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为，则由抛物线定义，可得.故.故答案为：.6．（2022高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】利用点差法即可得到，最后利用离心率公式即可.【详解】设点，则，把，的坐标代入椭圆方程可得:，两式作差可得：，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，故答案为：.四、解答题7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.(1)抛物线的方程；(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，结合抛物线的定义分析可知，即可得方程；（2）由题意可得直线过点和F1,0，求直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐标.【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为，设，则，当且仅当时，等号成立，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0），设Ax1,y1且直线过点和F1,0，则直线的方程，即，联立方程，消去x得，则，可知，将yM=2代入可得，所以线段的中点的坐标为.8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．【答案】(1)；(2)不能，证明见解析；【分析】（1）由渐近线方程求得一个关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；（2）设出交点坐标，若是线段的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是否有解，即可判断.【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为，所以，，解得，所以双曲线C的方程为：.（2）当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设Ax所以，两式作差得，即，若是线段的中点，则，则，所以直线l的斜率，则直线l的方程为，将直线l与双曲线联立，得，，方程无解，所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点.9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，该直线方程为【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果.【详解】（1）设动圆的半径为，依题意得，所以为定值，且，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，，，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，由点斜式得直线方程为，即.所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.

10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为．(1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；(2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程．【答案】(1)(2)在椭圆内部，．【分析】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算；（2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程.【详解】（1）解法一：因为椭圆，即，则，所以椭圆的右焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，，∴，，所以．解法二：椭圆，即，则，所以椭圆的右焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，即，由，其中，所以．（2）∵，∴点在椭圆内部．设以为中点的弦与椭圆交于，∵为中点，∴，把分别代入椭圆，得，∴，∴，∴，∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为，整理得．1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p=116，求抛物线（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）(132【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于p,m,λ的表达式，得到关于p,m,λ的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得A(x0,y0)的坐标关于的表达式，根据点A(x0,y0)在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到y02+y1y0+8p2=0．根据判别式大于零，得到不等式Δ【详解】（Ⅰ）当p=116时，的方程为y2=18（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法设A(x由{x∴y由在抛物线上，所以λ2m又{y∴y1+∴x由{x2⇒⇒−2p+4所以4p2+2≥18p，所以，的最大值为1040，此时A(2[方法二]【最优解】：设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0)，A(x将直线的方程代入椭圆得：(m2+2)所以点的纵坐标为yM=−将直线的方程代入抛物线得：，所以y0yM=−2pt，解得由解得1p2所以当m=2,t=105时，[方法三]：点差和判别式法设A(x1,因为{x12整理得，所以y0x又y1所以y0y0因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式Δ=y12−32由{y12因此y12=2p当且仅当点M的坐标为(1010,±510[方法四]：参数法设M(2pt由kABkOM令u=(2t+t)2，则u∈[8,+所以pmax=1040，此时2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为或．【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法设，则.两式相减，并由得，由题设知，于是.①由题设得，故.［方法二］：【通性通法】常规设线设，，当时，显然不满足题意；由得，，所以，，，即，而，所以，又，所以，，即，解得：．［方法三］：直线与椭圆系的应用对原椭圆作关于对称的椭圆为．两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．又点在椭圆C内部可得，解得：．所以．［方法四］：直线参数方程的应用设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.［方法二］：硬算由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，，所以，而，故．即该数列的公差为或.［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用因为线段