第06讲 几何法求空间角与空间距离（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第06讲几何法求空间角与空间距离（5类核心考点精讲精练）【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分【备考策略】1.掌握等体积转化求点面距2.掌握等几何法求异面直线所成角3.掌握等几何法求线面角4.掌握几何法求二面角【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.知识讲解一、异面直线所成角

1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′//a,b′//b,我们把a′二、直线与平面所成角

1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

2.范围：0,π2.

3.求法：

（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为l）和到平面的距离（设为三、二面角

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。

2.范围：0,π.

3.求法：

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。（4）射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S空间距离点面距可转化为三棱锥等体积求解考点一、几何法求点面距1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为．2．（23-24高三上·河北·期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．23．（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为．4．（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为；异面直线BD1与CD的距离为．1．（23-24高三上·全国·阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（

）A． B．1 C． D．4．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，．(1)证明：．(2)若为等边三角形，求点C到平面的距离．考点二、几何法求异面直线所成角1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川绵阳·三模）在梯形中,，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．1．（2024·广西桂林·三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）如图，矩形是圆柱的轴截面，点在圆上，若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．考点三、几何法求线面角1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．32．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为．4．（2024·辽宁大连·二模）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图：，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接，，，.(1)当平面时，求的长；(2)若，求与平面所成角的正弦值.5．（2024·山西·三模）如图三棱锥分别在线段AB，CD上，且满足.(1)求证:平面平面;(2)求AD与平面BCD所成角的正弦值.6．（22-23高一下·辽宁大连·期末）在正三棱台中，，，为中点，在上，.

(1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；(2)求直线与平面所成角的正弦值.1．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·模拟预测）如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（

）

A． B． C． D．3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为.

4．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求直线与所成角的正弦值.5．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，且，.(1)证明：平面平面；(2)若，，求与平面所成角的大小.考点四、几何法求二面角1．（2024·河南·三模）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（

）A． B． C． D．2．（2024·江西赣州·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.

(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.3．（2024·四川攀枝花·三模）如图，直三棱柱中，，点在线段上，且，．(1)证明：点为的重心；(2)若，求二面角的余弦值．4．（2024·河南·模拟预测）如图，在长方体中，点分别是的中点．

(1)求证：平面；(2)若，且底面为正方形，求平面与平面夹角的余弦值．1．（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．

(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．

(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)证明：；(2)若，分别为，的中点，求二面角的余弦值．4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面侧面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的角的余弦值．考点五、范围与最值问题1．（2024·全国·模拟预测）设为正方体的棱上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为（

）A．1 B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥可绕着任意旋转，平面，，分别是，的中点，，，点在平面上的射影为点.当最大时，二面角的大小是（

）A．105° B．90° C．60° D．45°3．（2024·四川成都·二模）如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．(1)证明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．1．（2024·河北沧州·模拟预测）在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为.2．（2024·广东·一模）已知表面积为的球O的内接正四棱台，，，动点P在内部及其边界上运动，则直线BP与平面所成角的正弦值的最大值为．3．（23-24高三下·湖南·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面为棱上靠近点的三等分点，且为的角平分线，则二面角的平面角的正切值的最小值为．一、单选题1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（22-23高三下·江西·阶段练习）如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（

）A． B． C． D．4．（2024·广西桂林·三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．（23-24高三下·广东·阶段练习）如图，正方体的边长为4，，平面经过点，，则（

）A．B．直线与直线所成角的正切值为C．直线与平面所成角的正切值为D．若，则正方体截平面所得截面面积为26二、多选题6．（22-23高三上·河北邢台·期末）如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是（

）A．存在点，，使得B．异面直线与所成的角为60°C．三棱锥的体积为D．点到平面的距离为三、填空题7．（22-23高二上·重庆南岸·期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于四、解答题8．（2024·江苏·二模）如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．9．（2024高三下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，求直线与平面所成角的正弦值．10．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如图1，菱形的边长为,将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥．(1)证明：三棱锥中，;(2)当点A在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．一、单选题1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知矩形中，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·新疆·二模）如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿BF折起，使点到点的位置，连接AE，DE，CE，且，则（

）A．平面 B．AE与平面所成角的正切值是C．BC与DE所成的角为 D．点到平面的距离为3．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（

）A．与平面所成的角相等B．C．二面角的大小可能为D．若，则球的表面积为4．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正四棱台的高为，，，则（

）A．正四棱台的体积为B．二面角的大小为C．直线与平面ABCD所成角的正弦值为D．异面直线与所成角的正切值为2三、解答题5．（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.6．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小．7．（2024·山东济南·三模）如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.(1)若点为的中点，证明:平面；(2)求异面直线与所成角的大小.8．（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形中，，把梯形ABCD绕AB旋转至分别为中点.

(1)证明:平面；(2)若，求点到平面的距离.9．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．(1)证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的值．10．（2024·贵州遵义·二模）通过化学的学习，我们知道金刚石是天然存在的最硬的物质，纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，如图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，从图中可以看出，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离相等的位置，如图2所示：(1)在金刚石的碳原子空间结构图（图2）中，求直线与直线所成角的余弦值；(2)若四面体和正八面体的棱长相等，现将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体，判断新多面体为几面体，并说明理由．1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．32．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．3．（2024·全国·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.4．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．5．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．6．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．7．（2023·全国·高考真题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且