第05讲 双曲线方程及其性质（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲双曲线方程及其性质（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新Ⅱ卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程直线的点斜式方程及辨析双曲线中的定直线问题2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程求双曲线中三角形(四边形)的面积问题根据韦达定理求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程双曲线中的轨迹方程双曲线中的定值问题2021年新Ⅱ卷，第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解双曲线的定义数学表达式：双曲线的标准方程焦点在轴上的标准方程焦点在轴上的标准方程标准方程为：标准方程为：双曲线中，，的基本关系双曲线的几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点坐标，，，，实轴实轴长，实半轴长虚轴虚轴长，虚半轴长焦点，，焦距焦距，半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为渐近线方程离心率离心率对双曲线的影响越大，双曲线开口越阔越小，双曲线开口越窄离心率与渐近线夹角的关系通径：（同椭圆）通径长：，半通径长：双曲线的焦点到渐近线的距离为考点一、双曲线的定义及其应用1．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（

）A．5 B．16 C．21 D．263．（2024高三·全国·专题练习）若动点Px,y满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则．3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．考点二、双曲线的标准方程1．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或2．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．3．（22-23高二下·甘肃武威·开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)焦点轴上，且过点，.1．（23-24高三上·河北张家口·开学考试）“”是“表示双曲线”的（

）．A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（

）A． B． C． D．3．（2022高三·全国·专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点,求该双曲线的标准方程．考点三、双曲线的几何性质1．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（

）A． B．C． D．2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（

）．A． B．4 C． D．3．（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则.4．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．95．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（

）.A． B． C． D．6．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为．1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为.2．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为.4．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则．5．（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知，则双曲线与有相同的（

）A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线考点四、双曲线的离心率1．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．5．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（

）．A． B． C． D．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为．考点五、双曲线中的最值问题1．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．92．（22-23高三下·江苏淮安·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（

）A．19 B．23 C．25 D．853．（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．41．（22-23高三下·福建泉州·阶段练习）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为.2．（2022高三·全国·专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点六、双曲线的简单应用1．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则．1．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．

3．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则一、单选题1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．4．（2024高三上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是是双曲线上的一点，且，则双曲线的离心率是（）A．7 B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．26．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题8．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为．9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为.三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点和点的椭圆；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线．一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南长沙·二模）已知分别为双曲线的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比（

）A． B．−23 C． D．5．（2024·河北·三模）已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．26．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．37．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题8．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率.9．（2024·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦