第04讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第04讲空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第17题,15分证明面面垂直证明线面平行由二面角大小求线段长度2024年新Ⅱ卷，第17题,15分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直求平面的法向量面面角的向量求法2023年新Ⅱ卷，第20题,12分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直面面角的向量求法2021年新I卷，第20题,12分线面垂直证明线线垂直面面垂直证线面垂直锥体体积的有关计算由二面角大小求线段长度或距离2021年新Ⅱ卷，第10题,5分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直求异面直线所成的角2021年新Ⅱ卷，第19题,12分证明面面垂直面面角的向量求法2020年新I卷，第20题,12分证明线面垂直线面角的向量求法2020年新I卷，第20题,12分证明线面垂直线面角的向量求法2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习.知识讲解空间中的垂直关系线线垂直①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直②勾股定理的逆定理证线线垂直③菱形、正方形的对角线互相垂直线面垂直的判定定理判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直图形语言符号语言线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线图形语言符号语言性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言面面垂直的判定定理判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）图形语言符号语言面面垂直的性质定理性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面图形语言符号语言考点一、线面垂直判定定理（特殊图形）1．（23-24高三上·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．(1)求证：平面；(2)求四面体的体积．2．（22-23高二下·湖南郴州·期末）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．1．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面PAC；(2)若点是棱的中点，求证：平面PAE．2．（2024·新疆喀什·三模）如图，在正四棱台中，，，是的中点．(1)求证：直线平面BDD1(2)求直线与平面所成角的正弦值考点二、线面垂直判定定理（三线合一）1．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.(1)证明：⊥平面.(2)若，平面平面，求点到平面的距离.2．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．(1)求证：AO⊥平面；(2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积．1．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.

(1)证明；AO⊥平面.(2)若二面角的正弦值.2．（2023·陕西西安·三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点D到平面ABE的距离．考点三、线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理）1．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．2．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱OO1的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.(1)求证：A1O⊥平面(2)求平面与平面的夹角的余弦值.1．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.

(1)证明：平面.(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点．(1)证明：DC⊥平面；(2)当二面角的大小为时，求线段的长度．3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，

(1)证明：平面；(2)求点到面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.考点四、线面垂直判定定理（全等与相似）1．（2023·北京房山·一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距离.1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.(1)证明：平面；(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.考点五、线面垂直判定定理（空间向量）1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

(1)求证：A1B⊥平面(2)求二面角的正弦值．2．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，.(1)当时，求证：平面；(2)设二面角的大小为，求cosθ的取值范围.3．（2024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．

(1)证明：平面；(2)点在直线上，求与平面所成角的最大值．1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，为菱形，，∠ACB=120°，平面平面，点F在上，且，分别在直线上．(1)求证：平面；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线的公垂线，求的值.2．（2024·重庆·三模）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，.(1)证明：平面BOP；(2)若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角的余弦值.3．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.(1)当时，求证平面；(2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值.考点六、线面垂直性质定理1．（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，AB//DC，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．4．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．1．（2024·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．

(1)证明：．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．3．（2024·山东烟台·一模）如图，在三棱柱中，，为的中点，A1O⊥平面.

(1)求证：AA(2)若AA1=24．（2024·山东·模拟预测）如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，为的中点．(1)证明：；(2)若，，求直线与平面所成角的余弦值．5．（2022·陕西·一模）如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，.(1)若，试证；(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.考点七、面面垂直判定定理1．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面；（2）若PD=DC=1，求四棱锥的体积．2．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥F−ABC的体积．4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2024·河南·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．2．（2024·河北沧州·二模）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．

(1)证明：平面平面；(2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值．3．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．

(1)证明：平面平面；(2)求二面角的大小．4．（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F.(1)求证：平面平面；(2)设M为的中点，平面交于P，且.若，且，求四棱锥的体积.5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且．(1)证明：平面平面；(2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．考点八、面面垂直性质定理1．（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.2．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，在三棱柱中，已知平面平面，，，.(1)证明：平面；(2)已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值.1．（2024·安徽芜湖·三模）如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，(1)求证：两两垂直；(2)若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．2．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，．(1)证明：．(2)若为等边三角形，求点C到平面的距离．3．（2024·四川·模拟预测）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，且平面平面．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．考点九、翻折问题综合1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．(1)证明：平面平面；(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二(1)求证：．(2)求直线与平面所成角的正弦值．3．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）．(1)求证：平面平面PBC；(2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．1．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.(1)求翻折后线段的长；(2)点满足，求与平面所成角的正弦值.3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图（1），在平面五边形中，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.考点十、补全条件及图形证空间中的垂直关系1．（2023·贵州铜仁·二模）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；(2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．2．（2021·河南·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，，点D，E分别为AC和B1C1的中点．(1)棱AA1上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)求点A到平面BDE的距离．3．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点．(1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；(2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值．1．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥A−BCDE与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A−BCDE的所有棱长均为，且．(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．2．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形为正方形，若平面，，，．(1)在线段上是否存在点，使平面平面，请说明理由；(2)求多面体的体积．3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．

(1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.2．（2024·贵州贵阳·三模）如图，在三棱锥中，，平面平面.(1)证明:平面PAC；(2)若为棱上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.3．（2024·安徽安庆·三模）如图，在四棱锥中，，，连接．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角正弦值的大小．4．（23-24高三下·河南·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．(1)证明：；(2)若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．5．（2024·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．6．（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，．

(1)求证：(2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值．7．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积8．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

(1)证明：点在平面上的射影为的中点；(2)求二面角的正切值．9．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱PD上，，．(1)证明：点是的中点；(2)求直线与平面所成角的正弦值．10．（2024·天津南开·二模）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.(1)求证：；(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．

(1)求证：PB⊥PC．(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由．2．（2024·湖南邵阳·三模）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，.，分别为，的中点..(1)若.求证：平面平面；(2)若，PE=2.求直线与平面所成角的正弦值.3．（2024·陕西商洛·模拟预测）在如图所示的多面体中.四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，.点是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求多面体的体积.4．（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2.(1)证明:平面；(2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求.5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．6．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求直线与所成角的正弦值.7．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，且，.(1)证明：平面平面；(2)若，，求与平面所成角的大小.8．（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为.(1)求证：为的中点；(2)求直线与平面所成角的正弦值.9．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若为的中点，证明：平面平面；(2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为427，求实数的值.10．（2023·江西·二模）正四棱锥中，，E为中点，，平面平面，平面.(1)证明：当平面平面时，平面(2)当时，T为表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T满足，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平