高等数学（第五版）课件3.2 导数的运算法则

第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

（1）

（

为常数）;（2）

（

为任意实数）；（3）（5）（7）基本导数公式（4）（6）（8）（9）

（10）

（11）（13）（15）

基本导数公式（12）（14）（16）函数和、差、积、商的求导法则

定理

设函数

与

在点

处可导，则（1）函数

在点

处可导，且

（3）若

函数

在点

处可导，且

特别地，当

时，

有

（2）函数

在点

处可导，且

特别地，对任意常数

有;习题讲解

例3.9例3.8

求求

的导数.例3.10习题讲解

已知函数

求

解：一般地，

已知

求例3.11习题讲解

引例3.4

求函数

的导数.解：因为从本例中可以发现：

这是因为函数

是由

和

复合而成的复合函数.复合函数的求导法则

所以

对于复合函数的求导法则，有下面定理：定理3.4复合函数的求导法则

如果函数

在

处可导，而函数

在对应的

处可导，

上式说明求复合函数

对

的导数时，可先求出

对的导数和

对

的导数，然后相乘即可.或那么复合函数

也在

处可导，且有显然，以上法则也可以用于多次复合的情形。例如，设

都可导，则

该法则称为复合函数的链式法则.因此在计算复合函数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，即它是由哪几个基本初等函数复合而成的，然后再求导。或复合函数的求导法则例3.12(1)求函数

的导数所以

函数

是由

两个函数复合而成的，而

解：习题讲解

(2)(3)(4)习题讲解

求函数

的导数例3.13解：同理：习题讲解

已知

求

例3.14习题讲解

解：

前面所遇到的函数都是

的形式，即因变量

可由含有自变量

的数学式子直接表示出来的函数，这类函数叫做显函数，例如，等.

但是有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程

都各表示一个函数，因为当自变量

在

内取值时，变量

有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.

隐函数的求导法则一般地，如果变量

之间的函数关系是由某一个方程

所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.隐函数的求导法则隐函数的求导法则

求隐函数的导数并不需要先化为显函数，可以利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对

求导，并注意到其中变量

是

的函数，就可以直接求出隐函数的导数.一般地，如果变量

之间的函数关系是由某一个方程

所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.例3.15求由方程

所确定的隐函数的导数

由上式解出

，便得隐函数的导数为习题讲解

解

把方程

的两端同时对求导，得

例3.16求曲线

在点

处的切线方程习题讲解

根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的方法，它适用于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.

这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.

隐函数的求导法则

解

先对等式两边取绝对值，再取对数，得

习题讲解

例3.17设

求

方程两边对

求导，得所以例3.18求

的导数.方程两边对

求导，得所以

解

对于

两边取对数，得习题讲解

确定，则这种函数关系叫做参数式函数.对参数式函数求导可利用公式若变量

之间的关系由参数方程（其中

为参数）所或求得.参数式函数的求导法则习题讲解

例3.

19求曲线

上

对应点处的切线方程.

解

设

为曲线

上

对应点的切线斜率，则又因为

时，有于是，所求切线方程为

即升学直通车

1.（

）（A）

（B）

（C）

（D）2.已知

，求

及升学直通车

3.函数是由方程所确定的隐函数，（

）（A）

（B）

（C）

（D）