高等数学（第五版）课件 第二节 三角函数与反三角函数

第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。第一节函数的概念

第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第二节三角函数与反三角函数

引例1.2【升国旗】升国旗时,某同学站在离旗杆底24m处行注目礼当国物升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为60°,若双眼离地面1.6m，请问旗杆高度为多少米?1.任意角的三角函数1.6m60°24m第二节三角函数与反三角函数

oyxP(x，y)

的终边

r

定义1.4一般地，称

为角α的正弦，记作sinα，即sinα=

；称

为角α的正弦，记作cosα，即cosα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作tanα，即tanα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作cotα，即cotα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作secα，即secα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作cscα，即cscα=.xy第二节三角函数与反三角函数

oxyoxyoxy规律：

“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.第二节三角函数与反三角函数

第二节三角函数与反三角函数

例1.8在平面直角坐标系中，角α的始边为x轴的正半轴，终边上有一点，坐标为

，请求出角α的所有三角函数值。xyoPα终边第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（1）正弦函数定义域：R值域：[-1,1]当且仅当

时，函数

的最大值

；当且仅当

时，函数

的最小值

；正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；正弦函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；正弦函数在区间

上单调增加，在区间

上单调减少。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（2）余弦函数定义域：R值域：[-1,1]当且仅当

时，函数

的最大值

；当且仅当

时，函数

的最小值

；余弦函数是偶函数，其图像关于

轴对称；余弦函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；余弦函数在区间

上单调增加，在区间

上单调减少。第二节三角函数与反三角函数

动脑筋想一想？（1）正弦函数和余弦函数的图像有什么关系？（2）正弦函数和余弦函数的关系。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（3）正切函数定义域：值域：R正切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；正切函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；正切函数在每一个开区间

上都是单调增加的。学有所思正切函数在定义域上是单调增加函数吗？第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（4）余切函数定义域：值域：R余切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；余切函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；余切函数在每一个开区间

上都是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

动脑筋想一想？（1）正切函数和余切函数的图像有啥特点？（2）正切函数和余切函数的关系。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（5）正割函数定义域：值域：正割函数是偶函数，其图像关于

轴对称；正割函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（6）余割函数定义域：值域：余割函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；余割函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

。第二节三角函数与反三角函数

六边形记忆法图形结构:上弦/中切/下割，左正/右余/中间1.记忆方法:(1)对角线上两个函数的积为1;(2)阴影三角形两个上顶点的平方和等于下顶点的平方;(3)任一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的函数值之积，2.三角函数的关系①第二节三角函数与反三角函数

倒数关系商的关系平方关系正割余割余切2.三角函数的关系常用公式第二节三角函数与反三角函数

和差化积公式积化和差公式2.三角函数的关系第二节三角函数与反三角函数

二倍角公式降幂公式2.三角函数的关系第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（1）反正弦函数正弦函数

在

上的反函数，称为反正弦函数。定义域：[-1,1]值域：反正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；反正弦函数在定义域范围内是单调增加的。反三角函数的概念与性质第二节三角函数与反三角函数

例1.9求函数

的定义域。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（2）反余弦函数余弦函数

在

上的反函数，称为反余弦函数。定义域：[-1,1]值域：反余弦函数是非奇非偶函数；反余弦函数在定义域范围内是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（3）反正切函数正切函数

在

上的反函数，称为反正切函数。定义域：R值域：反正切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；反正切函数在定义域范围内是单调增加的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（4）反余切函数余切函数

在

上的反函数，称为反余切函数。定义域：R值域：反余切函数是非奇非偶函数；反余切函数在定义域范围内是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数反三角函数的关系（1）余角关系（2）负数关系第二节三角函数与反三角函数

例1.10求下列各反三角函数的值：（1）

（2）

（3）

（4）案例1.4

【别墅造价】

第二节三角函数与反三角函数

第二节三角函数与反三角函数

案例1.4

【别墅造价】

一栋新农村别墅，它的屋顶由四坡屋面构成，如图1.12所示.其中,前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和FBC上的射影分别为H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是三角形FBC面积的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,求该别墅的总造价.解：在Rt△FHM中，HM=5m，∠FMH=θ，则

，因此，△FBC的面积为：从而，屋顶的面积为：第二节三角函数与反三角函数

案例1.4

【别墅造价】

一栋新农村别墅，它的屋顶由四坡屋面构成，如图1.12所示.其中,前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和FBC上的射影分别为H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是三角形FBC面积的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,求该别墅的总造价.又因为在Rt△FHM中，FH=5tanθm，所以下部主体高度h=6-5tanθm，所以，别墅的总造价为升学直通车

1.函数

是（

）（A）偶函数

（B）奇函数

（C）非奇非偶函数

（D）无法判断奇偶性小结本次课主要介绍了三角函数与反三角函数的解析表达式、定义域、主要