高等数学（第五版）课件 3.3函数的微分

第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

微分的概念

引例3.5

一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由

变到

，如图所示，问此薄片的面积改变了多少？

分析

设此薄片的边长为

，面积为

，则

，

薄片受到温度变化的影响，面积的增量是自变量在处取得增量

时，函数

相应的增量，即从上式看出，

分成两部分：一部分是

，它是

的线性函数，即图中两个小矩形的面积之和；另一部分是

的高阶无穷小量.从而当时，可以用第一部分

作为

的近似值，即

.

这种做法实际上包含了一个重要思想——线性化，这是因为线性函数是最简单的函数，同时我们还注意到第一部分中

的系数恰好是面积在点

处的导数值，

，数学上，把

的第一部分：

的线性函数

称为面积

的微分，记为

，即微分的概念

定义3.4

由上述定义可知

，即

，

称为自变量的微分，即自变量

的微分

等于自变量

的增量

，于是

在点

的微分

可写成微分的概念

设函数

在点

可导，则称

为函数

在点

的微分，记为

或者

，即

或例3.20设

，求函数的增量与微分.解：

而

，即有

，则比较

与

知，较小.习题讲解

解

体积的增量为显然有例3.21半径为

的球，其体积为

，当半径增大

时，求体积的增量与微分.习题讲解

微分的运算法则

1.基本微分公式

由关系式

可知，只要知道函数的导数，就能立刻写出它的微分.因此，由基本导数公式容易得出相应的基本微分公式.

（1）

（

为常数）;（2）

（3）（5）（7）基本微分公式

（4）（6）（8）（9）

（10）

（11）（13）（15）基本微分公式

（12）（14）（16）2.微分四则运算法则：（1）（2）（

为常数）；（3）微分的运算法则

3.一阶微分形式不变性:

设函数

，当

是自变量时，函数

的微分为.当

不是自变量，而是

的可导函数.由复合函数的求导法则得即

是中间变量，则构成复合函数.微分的运算法则微分的运算法则

3.一阶微分形式不变性：可见，无论

是自变量还是中间变量，

的微分形式总可以写为这一性质称为一阶微分形式的不变性.所以解：

例3.22设

，求

习题讲解求函数

的微分.

例3.23

解法一：利用微分的定义，解法二：利用一阶微分形式的不变性，有所以习题讲解

解

由微分的四则运算法则及微分形式不变性，求方程

的微分

例3.24即将

代入得即习题讲解微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式.如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替.

我们先来看函数增量和函数微分的定义.微分在近似计算中的应用

由函数微分的定义：

（3.1）

当

很小时，我们有

（3.2）这个式子也可以写为

（3.3）或

（3.4）

微分在近似计算中的应用

在式（3.4）中令

，即

，那么式（3.4）可以改写为

（3.5）

式（3.2）—（3.5）四个微分近似公式中，式（3.2）是最基本的，式（3.5）式蕴含着丰富的数学思想——以直代曲或线性化的思想.

式（3.5）左端是函数，右端是直线，也就是说，当很小，即很小时，可以用直线近似的表示曲线，体现了以直代曲或线性化的思想，这就是近似计算的实质.微分在近似计算中的应用

特别地，当

，

很小时，有

（3.6）

由此可以推出以下几个常用的近似计算公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）习题讲解计算

的近似值.

例3.25

解：设

，由式（3.4）有取

，有习题讲解计算

的近似值.

例3.26

解：

这里

，其值较小，利用近似公式（1）（

的情形），便得如果直接开方，可得习题讲解

将两个结果比较一下，可以看出，用1.025作为