专项03-一元一次方程的应用-数阵问题-专题训练（30道）

一元一次方程的应用-数阵问题-专题训练（30道）一．选择题（共10小题）1．（玄武区期中）已知下列方格中E、F、G、H、I五个字母各表示一个数，且任意3个连续方格中的数之和为20，则E+F+G+H+I的值为（）E3FGHI﹣1A．19 B．26 C．37 D．392．（包河区期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这5个数的和可能的是（）A．64 B．75 C．86 D．1263．（南通期中）把2021个正整数1，2，3，4，…，2021按如图方式列成一个表．用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（）A．192 B．190 C．188 D．1864．（柯桥区模拟）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（）A．12 B．15 C．18 D．215．（章贡区期末）如图是2020年12月的日历，祥祥用平行四边形从中任意的框出三个日期，若这三个日期的和是48，则C处的日期为12月（）A．24日 B．25日 C．26日 D．27日6．（南阳月考）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．27 B．51 C．69 D．727．（本溪期末）下表中的号码是由12个数组成的，每个数占一个小方格，若任意相邻的三个数之和都等于12，则x的值为（）9x﹣2A．9 B．5 C．﹣2 D．不能确定8．（奉化区校级期末）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（）A．42 B．63 C．90 D．1259．（乐亭县期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（）A．22 B．70 C．182 D．20610．（高明区校级期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（）A．63 B．98 C．140 D．168二．填空题（共10小题）11．（朝阳区校级期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数中的最大数为．12．（武昌区校级期中）如图的数阵是由77个偶数排成：小颖用一平行四边形框出四个数（如图中示例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的一个是．13．（陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为．14．（温江区校级开学）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值应该是．15．（奉化区校级期末）如下，在3×3的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行每一竖列上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为．﹣2中国4﹣1梦x22x+1016．（大邑县期中）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角的“△”代表的数是；方格中九个数的和是．17．（黄陂区期中）如图所示九宫格幻方有如下规律，处于同一横向、同一竖列、同斜对角线上的三个数的和都相等（图1）．则图2九宫格幻方中x＝（a的式子表示）．18．（福清市期末）如图，在排成每行七天的某月日历表中取下一个3×3的方块，若所有日期数之和为198，则n的值为．19．（都江堰市期末）如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“〇”中各填有一个式子，如果图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，那么a的值为．20．（江岸区期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是．三．解答题（共10小题）21．（上饶期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，...，排列成如图所示的数表：（1）十字框中的五个数的和与中间数21有什么关系？（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中五个数的和．（3）若将十字框上下、左右平移，可框住另外的五个数，这五个数还有这种规律吗？（4）十字框中的五个数的和能等于2021吗？能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．22．（杨浦区期中）如图为2021年11月的日历：（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：①设中间的一个数为a，则另外的两个数为，；②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期．（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b，若这9个数的和为153，求b2﹣1的值．23．（江宁区期中）将奇数1至2021按照顺序排成表．记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．（1）P43＝；（2）若Pmn＝2021，推理m＝；n＝；（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．（4）用m、n的代数式表示Pmn＝．24．（洪洞县期末）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，解答下列问题：（1）月历表中，每行数字的大小规律是；（2）月历表中，每列数字的大小规律是；（3）若用正方形框框住几个数字，也会发现在一定方向上的排列也有规律，请再观察对角线“撇”方向的数字排列大小规律．“捺”方向的数字排列大小规律是；（4）如果用正方形框把每9个数字框起来，发现中间的数字与它的四周的所有数字有一定关系，如果中间的数字设为x，那么四周数字的和一定是；（5）如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字．25．（桥西区模拟）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方﹣﹣九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．（1）请求出中间行三个数字的和；（2）九宫图中m，n的值分别是多少？26．（无锡期末）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题：（1）用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数．①若框里4个数中的最小数记为x，用含x的代数式表示这4个数的和为，这4个数的和的最大值是．②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？（2）用一个4×3的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由．27．（雁塔区校级期末）观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①﹣1，5，﹣7，17，﹣31，65，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第一行的第n个数为；（2）如图1，在上面的数据中，用一个长方形方框框住同一列的三个数，设a＝x，则a+b+c＝（用含x的式子表示）；（3）如图2，在上面的数据中，用一个长方形方框框住两列共六个数，数a，b，c为第n列的三个数，若方框中的a，d，c，f这四个数之和为﹣96，求n的值．28．（招远市期末）把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图方式排列成一个表；（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是、、（请直接填写答案）．（2）用（1）中方式被框住的4个数之和可能等于2020吗？如果可能，请求出x的值，并依次写出被框出的四个数；如果不可能，请说明理由．29．（邗江区期中）生活与数学（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是；（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是；（3）小军也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是号；（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；③托马斯也学小军画了一个十字框，十字框内5个数的和为400，托马斯请小军计算十字框的中间一个数，小军则认为托马斯的问题有误．你同意小军的观点吗？如果同意，请说明理由；不同意，请计算出十字框中间的数．30．（丰台区校级期中）将网格中相邻的上下或左右两个数分别加上或减去同一个数，称为一步变换．比如，我们可以用三步变换将网格1变成网格2，变换过程如图：（1）用两步变换将网格3变成网格，请在网格中填写第一步变换后的结果；（2）若网格5经过三步变换可以变成网格6，求x的值（不用填写网格）；（3）若网格7经过若干步变换可以变成网格8，请直接写出a、b之间满足的关系．

一元一次方程的应用-数阵问题-专题训练（30道）解析版一．选择题（共10小题）1．（玄武区期中）已知下列方格中E、F、G、H、I五个字母各表示一个数，且任意3个连续方格中的数之和为20，则E+F+G+H+I的值为（）E3FGHI﹣1A．19 B．26 C．37 D．39【解题思路】先由H+I﹣1＝20求出H+I的值，再由G+H+I＝20求出G的值，然后可依次求出F、E的值，最后可求出E+F+G+H+I的值．【解答过程】解：根据H+I﹣1＝20得H+I＝21，因为G+H+I＝20，所以G+21＝20，解得G＝﹣1，由3+F+G＝20得3+F﹣1＝20，解得F＝18，由E+3+F＝20得E+3+18＝20，解得E＝﹣1，所以E+F+G+H+I＝﹣1+18﹣1+21＝37，故选：C．2．（包河区期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这5个数的和可能的是（）A．64 B．75 C．86 D．126【解题思路】设“U”型框中的五个数分别为a1、a2、a、a3、a4．由5个数的位置关系，可用含a的代数式表示出a1，a2，a3，a4，令由5个数之和为选项中的数字，解之可得出a值，结合图形即可得出结果．【解答过程】解：设“U”型框中的五个数分别为a1、a2、a、a3、a4，则a1＝a﹣8，a2＝a﹣1，a3＝a+1，a4＝a﹣6，所以（a﹣8）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a﹣6）＝5a﹣14．A、当5a﹣14＝64时，a=78B、当5a﹣14＝75时，a=89C、当5a﹣14＝86时，a＝20，a＝20位于“U”型框的左边，不符合题意；D、当5a﹣14＝126时，a＝28，符合题意．故选：D．3．（南通期中）把2021个正整数1，2，3，4，…，2021按如图方式列成一个表．用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（）A．192 B．190 C．188 D．186【解题思路】记右上角的一个数为x，通过图表可以得出这四个数之间的数量关系是相邻的两个数之间相差6，从而可以得出另三个数，将表示出的4个数相加，根据各选项建立方程求出其解即可判断．【解答过程】解：记右上角的一个数为x，∴另三个数用含x的式子表示为：x+6，x+12，x+18．x+（x+6）+（x+12）+（x+18）＝4x+36，A．4x+36＝192，解得：x＝39，符合题意；B．4x+36＝190，解得：x=77C．4x+36＝188，解得：x＝38，38是第六行第3个数，不可以用如图方式框住，不符合题意；D．4x+36＝186，解得：x=75故选：A．4．（柯桥区模拟）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（）A．12 B．15 C．18 D．21【解题思路】根据方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，可得三个数字之和÷3＝中间数字，依此列出算式计算即可求解．【解答过程】解：依题意有：P÷3＝7，解得P＝21．故选：D．5．（章贡区期末）如图是2020年12月的日历，祥祥用平行四边形从中任意的框出三个日期，若这三个日期的和是48，则C处的日期为12月（）A．24日 B．25日 C．26日 D．27日【解题思路】设C处日期为x日，则A处为（x﹣16）日，B处为（x﹣8）日，根据三个日期和为48，列方程求解．【解答过程】解：设C处日期为x日，由题意得x+x﹣8+x﹣16＝48，解得：x＝24．故选：A．6．（南阳月考）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．27 B．51 C．69 D．72【解题思路】设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为x+7，x+14，令三个数之和分别为四个选项中的数，解之即可得出x的值，再结合月历表的特征，即可得出这三个数的和不可能是72．【解答过程】解：设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为x+7，x+14，依题意，得：x+x+7+x+14＝27，x+x+7+x+14＝51，x+x+7+x+14＝69，x+x+7+x+14＝72，解得：x＝2，x＝10，x＝16，x＝17，∵17的下面只有1个24，∴这三个数的和不可能是72．故选：D．7．（本溪期末）下表中的号码是由12个数组成的，每个数占一个小方格，若任意相邻的三个数之和都等于12，则x的值为（）9x﹣2A．9 B．5 C．﹣2 D．不能确定【解题思路】根据任何相邻的三个数字之和都等于12，可判断出x左右两个数字，再由相邻三数之和为12可得出答案．【解答过程】解：∵﹣2左边的两个空格中的数字之和为14，∴根据任何相邻的三个数字之和都等于12，可得x右边的数字为﹣2，9右边的空格中的两数之和为3，∴可得x左边的空格中的数为9，故x＝12﹣9+2＝5，故选：B．8．（奉化区校级期末）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（）A．42 B．63 C．90 D．125【解题思路】设中间的数是x，根据日历表的特点，可得“”框出五个数的和是中间数的5倍，解方程求出中间数，再根据整数的特征即可求解．【解答过程】解：设中间的数是x，依题意有5x＝42，解得x＝8.4（不是整数，舍去）；5x＝63，解得x＝12.6（不是整数，舍去）；5x＝90，解得x＝18；5x＝125，解得x＝25（25下面没有数，舍去）．故选：C．9．（乐亭县期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（）A．22 B．70 C．182 D．206【解题思路】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．【解答过程】解：由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6．A、由题意，令框住的四个数的和为22，则有：8n+6＝22，解得n＝2．符合题意．故本选项不符合题意；B、由题意，令框住的四个数的和为70，则有：8n+6＝70，解得n＝8．符合题意．故本选项不符合题意；C、由题意，令框住的四个数的和为182，则有：8n+6＝182，解得n＝22．符合题意．故本选项不符合题意；D、由题意，令框住的四个数的和为206，则有：8n+6＝206，解得n＝25．由于数2n﹣1＝49，排在数表的第5行的最右边，它不能处于T字框内中间且靠上方的数，所以不符合题意．故框住的四个数的和不能等于206．故本选项符合题意；故选：D．10．（高明区校级期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（）A．63 B．98 C．140 D．168【解题思路】设最中间的数为x，根据题意列出方程即可求出判断．【解答过程】解：设最中间的数为x，∴这7个数分别为x﹣8、x﹣6、x﹣1、x、x+1、x+6、x+8，∴这7个数的和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+8＝7x，当7x＝63时，此时x＝9，当7x＝98时，此时x＝14，当7x＝140时，此时x＝20，当7x＝168时，此时x＝24，由图可知：24的右下角没有数字．故选：D．二．填空题（共10小题）11．（朝阳区校级期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数中的最大数为30．【解题思路】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为46列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求出5个数的和．【解答过程】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，根据题意：最大数与最小数的和为46，则x﹣7+x+7＝46，解得x＝23，即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，所以最大数是30．故答案是：30．12．（武昌区校级期中）如图的数阵是由77个偶数排成：小颖用一平行四边形框出四个数（如图中示例），计算出四个数的和是436，那么这四个数中最小的一个是100．【解题思路】可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差16，左右相差2，即可表示出四个数；根据“四个数的和是436”列出方程并解答．【解答过程】解：设最小的一个数是x，笑容其他三个数为：x+2，x+16，x+18，由题意得，x+（x+2）+（x+16）+（x+18）＝436，解得：x＝100，即：这四个数中最小的一个是100．故答案是：100．13．（陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为﹣2．【解题思路】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（温江区校级开学）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值应该是1．【解题思路】根据题意由每一行以及每一条对角线上的三个数之和相等，可列方程，解方程即可求解x值．【解答过程】解：由题意得5+x＝2+4，解得x＝1．故答案为：1．15．（奉化区校级期末）如下，在3×3的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行每一竖列上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为﹣5．﹣2中国4﹣1梦x22x+10【解题思路】根据题意得出x+2+2x+10＝﹣2+（﹣1）+（2x+10），进而求出答案．【解答过程】解：由题意可得：x+2+2x+10＝﹣2+（﹣1）+（2x+10），整理得：3x+12＝2x+7，解得：x＝﹣5，故答案为：﹣5．16．（大邑县期中）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角的“△”代表的数是﹣4；方格中九个数的和是﹣27．【解题思路】根据“河图”的特征可得：每一条对角线上的三个数的和等于第三行的各个数的和，求出△的值即可；再设与△和﹣3在同一条对角线上另一个数为y，根据题意y+（﹣6）＝（﹣5）+（﹣3），求出y＝﹣2，从而求出三个数的和，即九个数的和．【解答过程】解：根据题意得：△+（﹣5）＝（﹣3）+（﹣6），解得：△＝﹣4；设与△和﹣3在同一条对角线上另一个数为y，则有：y+（﹣6）＝（﹣5）+（﹣3），∴y＝﹣2，∵对角线上三个数的和为：（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）＝﹣9，即每一行，每一列以及线上三个数的和都等于﹣9，方格中九个数的和是（9）+（﹣9）+（9）＝﹣27，故答案为：﹣4；﹣27．17．（黄陂区期中）如图所示九宫格幻方有如下规律，处于同一横向、同一竖列、同斜对角线上的三个数的和都相等（图1）．则图2九宫格幻方中x＝a+1（a的式子表示）．【解题思路】首先确定中间空格位置上的代数式，然后再根据“处于同一横向、同一竖列、同斜对角线上的三个数的和都相等”可得x+x﹣1＝a+3+a﹣2，再整理即可．【解答过程】解：由题意得：中间空格为：x+a+3﹣（a+4）＝x+a+3﹣a﹣4＝x﹣1，则：x+x﹣1＝a+3+a﹣2，x＝a+1，故答案为：a+1．18．（福清市期末）如图，在排成每行七天的某月日历表中取下一个3×3的方块，若所有日期数之和为198，则n的值为29．【解题思路】根据题意可得上下两数差7，左右两数差1，根据n的位置分别表示出各方格内的数，再列出方程，然后解方程即可．【解答过程】解：根据图示得：n+n﹣7+n﹣14+n﹣1+n﹣8+n﹣15+n+1+n﹣6+n﹣13＝198，解得：n＝29，答：n的值为29，故答案为：29．19．（都江堰市期末）如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“〇”中各填有一个式子，如果图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，那么a的值为1．【解题思路】由图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：依题意，得：3﹣a+2+b＝3﹣a+2a+b，解得：a＝1．故答案为：1．20．（江岸区期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是7．【解题思路】根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，将空格处用含m的代数式表示出来，然后根据得出的数据列出方程求m的值即可．【解答过程】解：由题知，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，故表格中每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于3+8+m＝11+m，∴表格中的数据如下图：∴3+8+m＝3+6+9，解得m＝7，故答案为：7．三．解答题（共10小题）21．（上饶期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，...，排列成如图所示的数表：（1）十字框中的五个数的和与中间数21有什么关系？（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中五个数的和．（3）若将十字框上下、左右平移，可框住另外的五个数，这五个数还有这种规律吗？（4）十字框中的五个数的和能等于2021吗？能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．【解题思路】（1）由5+19+21+23+37＝105，105÷21＝5，即知十字框中的五个数的和是中间数21的5倍；（2）由（1）计算的规律可以直接写出结果；（3）由（1）（2）可以直接得出一般性的结论；（4）根据上面的规律可知十字框中的五个数的和不能等于2021，若十字框中的五个数的和等于2025，有5a＝2025，据此求得a的值，进而求出满足条件的数．【解答过程】解：（1）计算十字框中五个数的和，得5+19+21+23+37＝105，而105÷21＝5，所以十字框中的五个数的和是中间数21的5倍；（2）若中间数为a，十字框中五个数之和用式子表示为5a；（3）通过计算，不管框住怎样的五个数，这五个数仍具有这种规律；（4）十字框中的五个数的和不能等于2021，因为2021不是5的倍数；若十字框中的五个数的和等于2025，则5a＝2025，解得a＝405，而405是奇数，故十字框中的五个数之和能等于2015，这五个数分别为：389，403，405，407，421．22．（杨浦区期中）如图为2021年11月的日历：（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：①设中间的一个数为a，则另外的两个数为a﹣7，a+7；②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期六．（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b，若这9个数的和为153，求b2﹣1的值．【解题思路】（1）①根据日历中的规律：数列上相邻的数相差7可求解；②将三数相加等于60列方程，解方程即可得出答案；（2）根据日历中的规律列方程，解方程可求解b的值，再代入计算可求解．【解答过程】解：（1）①由题意得：设中间的一个数为a，则另外的两个数为a﹣7；a+7，故答案为a﹣7；a+7；②a﹣7+a+a+7＝60，解得a＝20，∴这三个数都在星期六，故答案为六；（2）根据题意得（b﹣8）+（b−7）+（b﹣6）+b﹣1+b+b+1+（b+6）+（b+7）+（b+8）＝153，解得b＝17，∴b2﹣1＝172﹣1＝288．23．（江宁区期中）将奇数1至2021按照顺序排成表．记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．（1）P43＝41；（2）若Pmn＝2021，推理m＝169；n＝3；（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．（4）用m、n的代数式表示Pmn＝12m+2n﹣13．【解题思路】（1）根据题意可知P43表示第4行第3个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由；（4）根据表格中的数据和发现，可以用含m、n的代数式表示出Pmn．【解答过程】解：（1）由题意可得，P43＝2×（6×3+3）﹣1＝41，故答案为：41；（2）∵Pmn＝2021，∴2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，∴12m+2n﹣13＝2021，∵m为正整数，1≤n≤6，∴m＝169，n＝3，故答案为：169，3；（3）所覆盖的4个数之和不能等于100，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，由题意可得（2n﹣3）+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+11）＝100，解得n＝11.5，∵n为整数，∴所覆盖的4个数之和不能等于100；（4）由题意可得，Pmn＝2[6（m﹣1）+n]﹣1＝12m+2n﹣13，故答案为：12m+2n﹣13．24．（洪洞县期末）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，解答下列问题：（1）月历表中，每行数字的大小规律是两个数之差为1；（2）月历表中，每列数字的大小规律是两个数之差为7；（3）若用正方形框框住几个数字，也会发现在一定方向上的排列也有规律，请再观察对角线“撇”方向的数字排列大小规律．“捺”方向的数字排列大小规律是撇方向的规律：两个数之差为6；捺方形的规律：两个数之差为8；（4）如果用正方形框把每9个数字框起来，发现中间的数字与它的四周的所有数字有一定关系，如果中间的数字设为x，那么四周数字的和一定是9x；（5）如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字．【解题思路】观察日历表发现等差规律，再根据这个规律可以得出第（4）的结论，列方程解决第（5）题．【解答过程】解：（1）观察每一行，相邻两个数之差都是1，故答案为：相邻两个数之差为1．（2）观察每一列，相邻两个数之差为7，故答案为：相邻两个数之差为7．（3）观察撇方向对角线的数，可知相邻两个数之差为6．观察捺方向对角线的数，可知相邻两个数之差为8．故答案为：撇方向的规律：相邻两个数之差为6；捺方形的规律：相邻两个数之差为8．（4）对九个数求和：（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）＝9x．故答案为：9x．（5）可以设16个数中左上角最小的数为x，16个数求和，列方程得：x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+7）+（x+8）+（x+9）+（x+10）+（x+14）+（x+15）+（x+16）+（x+17）+（x+21）+（x+22）+（x+23）+（x+24）＝224，2x+192＝224，x＝2．2+24＝26．所以这16个数中最大的数为26．25．（桥西区模拟）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方﹣﹣九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．（1）请求出中间行三个数字的和；（2）九宫图中m，n的值分别是多少？【解题思路】（1）列式（﹣7）+1+9，计算即可；（2）根据（1）的计算结果列出关于m、n的方程可得结果．【解答过程】解：（1）（﹣7）+1+9＝3．答：中间行三个数字的和是3．（2）由（1）得：﹣5+9﹣m＝3，解得m＝﹣1；n+1+m＝3，即n+1﹣1＝3，解得n＝3．答：m＝﹣1，n＝3．26．（无锡期末）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题：（1）用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数．①若框里4个数中的最小数记为x，用含x的代数式表示这4个数的和为4x+6，这4个数的和的最大值是106．②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？（2）用一个4×3的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由．【解题思路】（1）①用含x的代数式表示其他三个数，四个数相加可得这4个数的和，用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数，只能去框每行的数，且每次只能框四个数．通过观察可知，11月的月历的最后一行不够四个数，所以不能去框．前四行每行共有7个数，符合要求．第四行的后四个数的和就是这4个数的和的最大值；②利用①得出的代数式列方程，先求出最小数，即可求解；（2）根据这12个数的和分别是222，246列出方程，解方程求出x的值，根据实际意义确定即可．【解答过程】解：（1）①若框里4个数中的最小数记为x，则其他三个数为x+1，x+2，x+3，∴这4个数的和为x+（x+1）+（x+2）+（x+3）＝4x+6，观察可知，11月的月历中，第四行的后四个数的和就是这4个数的和的最大值，∴这4个数为：25，26，27，28，∴这4个数的和的最大值是25+26+27+28＝106，故答案为：4x+6，106；②设框里4个数中的最小数为x，由题意得：4x+6＝66，解得：x＝15，∴其他三个数为16，17，18，∴这4个数分别是15，16，17，18；（2）设第一行的第一个数是x，则其他11个数如下：x+1，x+2，x+3，x+7，x+8，x+9，x+10，x+14，x+15，x+16，x+17，这12个数的和为：x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+7）+（x+8）+（x+9）+（x+10）+（x+14）+（x+15）+（x+16）+（x+17）＝12x+102，当和为222时，12x+102＝222，解得：x＝10，此时，最大的数为x+17＝27，观察可得满足12个数的和能等于222；当和为246时，12x+102＝246，解得：x＝12，此时，最大的数为x+17＝29，观察月历，不能得到12个数的和等于246．27．（雁塔区校级期末）观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①﹣1，5，﹣7，17，﹣31，65，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第一行的第n个数为（﹣2）n；（2）如图1，在上面的数据中，用一个长方形方框框住同一列的三个数，设a＝x，则a+b+c＝52x+1（用含x（3）如图2，在上面的数据中，用一个长方形方框框住两列共六个数，数a，b，c为第n列的三个数，若方框中的a，d，c，f这四个数之和为﹣96，求n的值．【解题思路】（1）观察第一行数得到后面一个数是前一个数的﹣2倍，由此得出第一行的第n个数；（2）观察每列上下两个数的关系，得到第二行的每一个数都是第一行对应数加1，第三行的每一个数都是第一行对应数乘12（3）根据（1）（2）的规律列出方程即可求解．【解答过程】解：（1）第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…，所以第一行的第n个数是（﹣2）n．故答案为：（﹣2）n；（2）依题意有a+b+c＝x+x+1+12x=故答案为：52x（3）设a＝x，则d＝﹣2x，c=12x，f＝﹣∵方框中的a，d，c，f这四个数之和为﹣96，∴x﹣2x+12x﹣解得x＝64，∴（﹣2）n＝64，∴n＝6．28．（招远市期末）把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图方式排列成一个表；（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是x+8、x+16、x+24（请直接填写答案）．（2）用（1）中方式被框住的4个数之和可能等于2020吗？如果可能，请求出x的值，并依次写出被框出的四个数；如果不可能，请说明理由．【解题思路】（1）通过图表可以得出这四个数之间的数量关系是相邻的两个数之间相差8，从而可以得出另三个数；（2）根据（1）表示出的4个数相加为2020建立方程求出其解即可．【解答过程】解：（1）设左上角的一个数为x，由图表得：另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是：x+8，x+16，x+24．故答案为：x+8，x+16，x+24；（2）由题意，得x+x+8+x+16+x+24＝2020，解得：x＝493，又因为493÷7＝70余3，说明493是第71行，第3个数，另三个数依次是：501、509、517，所以被框住的4个数之和能等于2020．这四个数分别是：493、501、509、517．29．（邗江区期中）生活与数学（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是4；（2）小丽也在上面