专项04-角的旋转问题-专题训练（30道）

角的旋转问题-专题训练（30道）1．（瑞安市期末）如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．2．（温江区校级期末）已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝；（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC=14∠BOC，求∠COM−23．（江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．4．（镇海区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．5．（江岸区期末）已知如图1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．6．（渝中区校级期末）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．7．（香坊区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．8．（涪城区校级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：∠DPC＝90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．9．（金华期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．10．（十堰期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系：．11．（西乡县期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此时∠12．（香坊区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数13．（历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．14．（广安期末）已知，O是直线AB上一点，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为；若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为（用含有α的式子表示）．（2）将图1中的∠DOC绕顶点O按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．（3）将图1中的∠DOC绕顶点O按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为（用含有α的式子表示），并说明理由．15．（南充期末）如图，把直角三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，作射线OE平分∠AOD．（1）若∠BOD＝42°，求∠AOE的度数；（2）设∠BOD＝x，请用x表示∠COE的大小；（3）如果直角三角尺COD绕点O转动，当顶点C转动到直线AB下方时，探索∠BOD与∠COE的数量关系．16．（临河区期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC=14∠AOM，求∠17．（济阳区期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此时∠18．（碑林区校级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．19．（天心区期末）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝°；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．20．（洪山区期末）将一副直角三角板ABC，ADE，按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如图1，点F在直线AC上，且位于点A的左侧，求∠FAD的度数；（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求∠MAN的度数．②若三角板ADE的旋转速度为每秒5°，且转动到∠DAC＝180°时停止，运动时间记为t（单位：秒），试根据不同的t的值，求∠MAN的大小（直接写出结论）．21．（喀喇沁旗期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．22．（宝安区期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：3的两个角的射线，叫做这个角的四分线…显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若∠BOC＝2∠AOB，则OB是∠AOC的一条三分线；若∠AOD＝2∠COD，则OD是∠AOC的另一条三分线．（1）如图2，OB是∠AOC的三分线，∠BOC＞∠AOB，若∠AOC＝60°，则∠AOB＝；（2）如图3，∠DOF＝120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE＞∠EOF，过点O作射线OG，当OG刚好为∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数；（3）如图4，∠AOD＝120°，射线OB、OC是∠AOD的两条四分线，将∠BOC绕点O沿顺时针方向旋转α°（0≤α≤180），在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出a的值．23．（饶平县校级期末）如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．（1）求∠COD的度数；（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．24．（锦江区校级期末）平面内一定点A在直线CD的上方，点O为直线CD上一动点，作射线OA，OE，OA′，当点O在直线CD上运动时，始终保持∠COE＝90°，∠AOE＝∠A′OE，将射线OA绕点O顺时针旋转75°得到射线OB．（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，若OB平分∠A′OE，求∠AOE的度数；（2）当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，且∠AOC＝4∠A′OB时，求∠AOE的度数；（3）当点O运动到某一时刻时，满足∠A′OB＝120°，求出此时∠BOE的度数．25．（金牛区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．（1）如图1，当∠AOD=13∠AOB时，求∠（2）如图2，若OD在∠AOB内部运动，且OF是∠AOD的角平分线时，求∠AOE﹣∠DOF的值；（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜23.5）后得到∠COP=43∠AOQ，求26．（西山区期末）如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．（1）∠MON＝度；（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的的度数；（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．27．（高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．28．（罗湖区校级期末）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．29．（商城县期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．①则当旋转时间t＝秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．30．（绵阳期末）如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．

角的旋转问题-专题训练（30道）解析版1．（瑞安市期末）如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．【解题思路】（1）根据角平分线的定义可得∠CBD=1（2）根据∠ABD和∠ABC可得∠CBD＝40°，再利用∠EBC＝∠EBD﹣∠CBD可得答案．【解答过程】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠CBD=1∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．（2）∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．2．（温江区校级期末）已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝30°；（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC=14∠BOC，求∠COM−2【解题思路】（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠（2）根据角平分线的性质并结合∠MON＝∠COM﹣∠CON解答即可；（3）根据题意得到∠COM=12∠AOC，∠BON=34∠BOC，再利用∠COM【解答过程】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC=12∠∴∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠BOC+12∠AOC=故答案为：30°；（2）不变，当OC旋转到∠AOB的外部时，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC=12∠∴∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12∠BOC−12∠AOC=∴∠MON的度数不会发生变化；（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，∵OM平分∠AOC，∠NOC=14∠∴∠COM=12∠AOC，∠BON=3∴∠COM−23∠BON=12∠AOC−23×34∠BOC=3．（江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．【解题思路】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC＝90°可得∠BOC；（2）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．【解答过程】解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∠AOC与∠BOD互补．当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．4．（镇海区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线是这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为15°或22.5°或30°；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．【解题思路】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．【解答过程】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③设∠AOC＝x，则∠BOC=12由题意得，x+12x＝45°，解得故答案为：15°或22.5°或30°；（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射线OM与ON的幸运线，则∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射线OM与OA的幸运线，则∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12115．（江岸区期末）已知如图1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．【解题思路】（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=13∠BOC（2）设∠CON＝x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．【解答过程】解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，∵∠AOC=13∠∴∠BOC=34∠AOB②OC在∠AOB外部时，如下图，∠AOC=13∠∴∠BOC=32∠AOB综上所述：∠BOC＝30°或60°；故答案为：30°或60°．（2）解：设∠CON＝x，∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，又∵∠AOC＝20°，∴∠AOM＝4x﹣20°，∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，∴4∠AON+∠COM＝80°．（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，∴∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA−14∠COM＝20°−14（60°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝20°+10∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，∵∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，∵∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+14∠COM＝20°+14（5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝10∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，∴∠AON＝∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+360°﹣5∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠CON﹣∠COA=14∠COM﹣∠COA=14（420°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（85°−54t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA−14∠COM＝20°−14（420°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（54t°﹣85°）+360°﹣5t∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．6．（渝中区校级期末）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝40°°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=1∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON′，即40°﹣4t=解得：t＝5（s）．当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．顺时针旋转时：如图②，同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．当C′在B上方时，即OC′与OB重合，由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6∴∠BON′=12∠BOD′=12∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=1∴6（t−803）=1解得：t＝30（s）综上所述t的值为5或30．②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD′=∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段时间0≤t≤10s；如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON′=1∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=1∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=1∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤80当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．7．（香坊区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．【解题思路】（1）由角的比值，求每一个角的度数，再加∠MON＝90°这个条件，最后求∠CON的度数；（2）若直线ON恰好平分锐角∠AOC，分两种情况：①ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，②ON沿逆时针旋转的度数为60°，最后求出时间；（3）由∠AOC与∠NOC互余，结合图形推∠BOC与∠MOC之间的数量关系．【解答过程】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC=1∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150（2）由图2题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，①如图（1）所示：ON沿逆时针旋转的度数为60°，∴∠MON所运动的时间t=606=②如图（2）所示：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，∴∠MON所运动的时间t=240°6°=②综上所述：∠MON所运动的时间t＝40（s）或10（s）．（3）如图②所示：∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合∴∠BOC与∠MOC互补．如图③所示：当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°∴∠BOC＝∠MOC综上所述：∠BOC与∠MOC互补或相等．8．（涪城区校级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：∠DPC＝90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【解题思路】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可证∠DPC＝90°；（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；（3）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可．【解答过程】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．（2）∵PE平分∠CPD，∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．则∠APF＝60°﹣y，∠DPF＝2x+y，∵∠CPA＝60°，∴y+2x＝60°﹣y，∴x+y＝30°，∴∠EPF＝x+y＝30°．（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，∴t≤180分三种情况讨论：①当PC平分∠BPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+1解得t=105②当PB平分∠CPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+2×30，解得t=75当PD平分∠BPC时，根据题意列得方程5t﹣t＝90﹣30，解得t＝15＜36，符合题意．综上：当旋转时间为15或10549．（金华期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．【解题思路】（1）根据“好线”的定义可得∠AOP的度数，然后分①当OP在∠AOB的外部时，②当OP在∠AOB的内部时两种情况可得答案；（2）直接根据角平分线的定义可得问题的答案；（3）设旋转的时间为t秒，根据题意列出方程，求解可得答案．【解答过程】解：（1）∵OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，①当OP在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，②当OP在∠AOB的内部时，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．（2）∵OB是∠MOP的平分线，且∠MOB＝30°，∴∠BOP＝∠MOB＝30°，∠MOP＝2∠MOB＝60°，∴∠PON＝120°，∵OA是∠PON的平分线，∴∠AOP=12∠∴∠BOP=12∠∴OP是∠AOB的一条“好线”；（3）设旋转的时间为t秒，①80﹣12t＝4t，∴t＝5，②3（12t﹣80）＝4t，∴t=15综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或15210．（十堰期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系：∠MON=12m【解题思路】（1）利用角平分线的定义可求得∠AOM，∠AON的度数，结论可得；（2）①利用（1）中的方法计算∠AOM，∠CON的度数，利用旋转度数表示∠AON＝∠CON﹣∠AOC，则∠MON＝∠COM﹣∠NOC；②利用①的结论可得；（3）利用角平分线的定义可求得∠AOM，∠CON的度数，再利用角的和差得出结论．【解答过程】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM=12∠AOB∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON=12∠COD∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；②当∠MON＝90°时，n+25＝90，∴n＝65．（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°−12m°）=当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=综上所述，∠MON=12故答案为：∠MON=1211．（西乡县期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝50°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝20°；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此时∠【解题思路】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．【解答过程】解：（1）由题意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，故答案为50°；（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，故答案为20°；（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴40°−∠BOD=1∴∠BOD＝15°；②当∠COD在∠BOC的外部时，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∵∠COD=1∴∠BOD−40°=1∴∠BOD＝52.5°，综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．12．（香坊区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数【解题思路】（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，则∠AON＝90°+α，由补角的定义可求得∠MOB＝＝2∠NOB，即可证明结论；（2）分两种情况：若射线OM在∠AOQ内时，若射线OM在∠BOQ内时，由角平分线的定义求解∠MOQ，结合∠CON＝2∠MOQ可得关于α的等式，计算可求解；（3）由（1）（2）结论可得∠MOP＝45°−12α，可分两种情况：情况1：射线OM在∠AOQ内，情况2：射线OM在∠【解答过程】解：（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射线OM在∠AOQ内时，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ=12∠AON=1∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+12α﹣2α＝45°∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°−3∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，若射线OM在∠BOQ内时，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（32∴α＝45°，即∠CON＝45°，故∠CON的度数为22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+12α，∠MOQ＝45°−32α；∠∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=12∠MON=1情况1：射线OM在∠AOQ内，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°−12α﹣30°＝15°∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+12α）＝45°∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°−32α）：（15°−12α）＝3（15°n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−12α）＝2（45°−1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°−3解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，情况2：射线OM在∠BOQ内，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°−12α）∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=3∴m＝∠MOQ：∠POD＝（32α﹣45°）：（12α﹣15°）＝3（12由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴32解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM的度数为40°或80°．13．（历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．【解题思路】（1）由平角的定义可得，∠AOB＝180°，所以∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，再由角平分线的性质可得∠MOD的度数；（2）由（1）可知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，再分当射线OP在∠BOC内部时，和当射线OP在∠BOC外部时两种情况，根据图中和差关系求∠COP的度数即可；（3）在射线OP旋转的过程中，OM和ON的相对位置在不断的变化，存在两种情况满足条件，画出草图，根据角度的和差关系求解即可．【解答过程】解：（1）由题意可知，∠AOB＝180°，∵∠BOC＝100°，∴∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝50°；（2）由（1）知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝50°；②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），∠COP＝∠BOC+∠BOP＝150°，综上所述，∠COP的度数为50°或150°；（3）∵ON平分∠COD，∴∠CON=12∠①如图3，∠COM＝∠CON﹣∠MON＝25°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC＝﹣∠BOC＝30°，∴旋转的时间t＝30°÷5°＝6（秒）；②如图3（1），此时，∠COM＝∠CON+∠MON＝65°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝130°，∴∠COE＝180°﹣130°＝50°，∴∠BOE＝100°﹣50°＝50°，∴旋转的时间＝（360°﹣50°）÷5°＝62（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．14．（广安期末）已知，O是直线AB上一点，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为20°；若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为12α（2）将图1中的∠DOC绕顶点O按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．（3）将图1中的∠DOC绕顶点O按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为180°−12【解题思路】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC，即可求出∠DOE的度数；由此方法可得出结论∠DOE=12∠AOC，从而用含α的代数式表示出∠（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；（3）根据角的和差关系，角平分线的定义解答即可，【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝70°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝90°−1又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣（90°−12α）故答案为：20°，12（2）结论：∠DOE=12∠∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，且OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝90°−1∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°−12∠AOC）=1（3）∵OE平分∠BOC，∠COE=12∠BOC∵∠COD是直角，∴∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+180°−α2=故答案为：180°−115．（南充期末）如图，把直角三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，作射线OE平分∠AOD．（1）若∠BOD＝42°，求∠AOE的度数；（2）设∠BOD＝x，请用x表示∠COE的大小；（3）如果直角三角尺COD绕点O转动，当顶点C转动到直线AB下方时，探索∠BOD与∠COE的数量关系．【解题思路】（1）由平角的定义先求解∠AOD，再根据角平分线的定义可得∠AOE=12∠（2）由平角的定义先求解∠AOD，再根据角平分线的定义可得∠DOE=12∠AOD，再利用∠COE＝∠COD﹣∠（3）分两种情况讨论，即当OD在直线AB的上方时和当OD在直线AB的下方时，从而得到答案．【解答过程】解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝42°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝138°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠AOD（2）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝x，∴∠AOD＝180°﹣x，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD=12×（180°﹣∵∠COD＝90°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣（90°−12x）=（3）如图，当OD在直线AB的上方时，设∠AOE＝α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α，∴2∠COE＝180°﹣2α，∴∠BOD＝2∠COE．如图，当OD在直线AB的下方时，设∠AOE＝α，同理可得，∠AOE＝∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+α，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α，∴2∠COE＝180°+2α，∴∠BOD+2∠COE＝360°．16．（临河区期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC=14∠AOM，求∠【解题思路】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．（3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC=14∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC＝65°，从而得到∠【解答过程】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC=14∠∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．17．（济阳区期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝50°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝20°；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此时∠【解题思路】（1）利用余角的定义可求解；（2）①由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；②由∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，结合∠BOC的度数可求解；（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．【解答过程】解：（1）由题意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，故答案为50°；（2）①∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，故答案为20°；②∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，∴∠BOC﹣∠BOD+∠COE＝90°，∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣∠BOC，∵∠BOC＝40°，∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°，即∠BOD与∠COE数量关系为：∠COE﹣∠BOD＝50°．（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴40°−∠BOD=1∴∠BOD＝15°；②当∠COD在∠BOC的外部时，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴∠BOD−40°=1∴∠BOD＝52.5°，综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．18．（碑林区校级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为10或40．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MOB=12∠又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD=12∠∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．19．（天心区期末）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝90°；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．【解题思路】（1）根据EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，得出∠EFI=12（∠AFH+∠BFH），即可得出∠（2）设∠EFG＝x，∠HFI＝y，求出x和y即可得出答案．（3）先求出∠GFH、∠GFP和∠QFI，根据∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=1∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=1∴∠EFI=12∠故答案为：90．（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，∵∠HFG＝30°∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，即2x+2y＝90°，∴x+y＝45°，∴∠EFI＝x+y+30＝75°，∴∠EFI＝75°．（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，又∵∠EFQ=∠IFQ=180−(α+β)∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）−[180°−(α+β)2]∴∠PFQ|＝|α−β220．（洪山区期末）将一副直角三角板ABC，ADE，按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如图1，点F在直线AC上，且位于点A的左侧，求∠FAD的度数；（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求∠MAN的度数．②若三角板ADE的旋转速度为每秒5°，且转动到∠DAC＝180°时停止，运动时间记为t（单位：秒），试根据不同的t的值，求∠MAN的大小（直接写出结论）．【解题思路】（1）先根据三角板的度数得到∠DAC的度数，再用180°﹣∠DAC即可；（2）①由角平分线的定义可得∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠CAD，再根据∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠②当0＜t＜9，9＜t＜39和t＝39时，分情况讨论．【解答过程】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．（2）①∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=1∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE=12（∠BAE+∠DAC=12（∠BAC+∠DAE+2∠CAE=1＝37.5°；②设∠CAE＝α，Ⅰ．当0＜t＜9时，AE在∠BAC内部，∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝30°﹣α，所以∠MAN=12（45°﹣α）Ⅱ．当9＜t＜39时，AE在∠BAC外部，∠MAN＝∠NAC+∠BAC﹣∠BAM=12（30°+α）+45°Ⅲ．当t＝39时，∠DAC＝180°，若M、N在直线DC同侧，则∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠BAM=1∠CAN=12×∴∠MAN＝82.5°﹣45°＝37.5°；若M、N在直线DC异侧，则∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠EAM=1∠DAN=12×∴∠MAN＝82.5°+60°＝142.5°；综上所述，不论t为何值时，∠MAN的大小为37.5°或142.5°．21．（喀喇沁旗期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；（2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠AOC＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．22．（宝安区期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：2的