专项08-二元一次方程组的应用（2）几何问题-专题培优

二元一次方程组的应用（2）几何问题-专题培优一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（崇川区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（）A．140cm2 B．96cm2 C．44cm2 D．16cm22．（香洲区校级期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm3．（西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（）A．96 B．112 C．126 D．1404．（醴陵市期末）小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm5．（沭阳县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为110A．60cm B．50cm C．40cm D．30cm6．（射洪市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说“我来试一试”，结果拼成如图2所示的正方形，中间还留有一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形．则每个小长方形的长和宽分别为（）A．8cm和6cm B．12cm和8cm C．10cm和6cm D．10cm和8cm7．（福山区期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（）A．200 B．201 C．202 D．2038．（崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（）A．15 B．16 C．179．（福山区期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则两个小长方形的面积是（）A．1200 B．1600 C．1800 D．240010．（抚州期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A．45 B．48 C．63 D．64二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（瑶海区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为．12．（常熟市期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于．13．（雄县期末）如图所示，8个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是．14．（赣榆区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是．15．（高邮市二模）如图，汪曾祺纪念馆中的仿古墙独具特色，其中一处是由10块相同的小矩形砖块拼成了一个大矩形，若大矩形的一边长为75cm，则小矩形砖块的面积为cm2．16．（遂平县期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为mm2．17．（工业园区期末）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为cm2．18．（德城区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是16cm，则小长方形的面积是cm2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（古丈县期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形．求大长方形的面积．20．（望花区校级月考）列二元一次方程组解实际问题．某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？21．（南关区校级二模）学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具（如图①）拼出一个大长方形和一个正方形（如图②、图③），其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．22．（淮南期末）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？23．（盘龙区期末）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm，ycm，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：①x−5=y+2xy=(x−5)2，②x−5=y+2以上三个方程组中，能正确反映题意的有．（请直接填写序号）（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．24．（邓州市期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？

二元一次方程组的应用（2）几何问题-专题培优（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（崇川区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（）A．140cm2 B．96cm2 C．44cm2 D．16cm2【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的性质，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：x+3y=14x+y−2y=6，解得：x=8∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．故选：C．2．（香洲区校级期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm【分析】就从右边长方形的宽40cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝40；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝40．【解析】设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．依题意得4y=40x+y=40，解得x=10即：长方形地砖的宽为10cm．故选：D．3．（西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（）A．96 B．112 C．126 D．140【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组x−2y+y=6x+3y=14【解析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，依题意得x−2y+y=6x+3y=14，解之得x=8∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，∴S大长方形＝AB•BC＝14×10＝140cm2，故选：D．4．（醴陵市期末）小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm【分析】设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，根据“把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入[x+（50﹣1）y]中即可求出结论．【解析】设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，依题意，得：x+(3−1)y=9x+(8−1)y=14，解得：x=7∴x+（50﹣1）y＝56．故选：B．5．（沭阳县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为110A．60cm B．50cm C．40cm D．30cm【分析】设较长的铁棒长度为xcm，较短的铁棒长度为ycm，根据两根铁棒长度之和为110cm且两根铁棒水下长度相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将x的值代入（1−13）【解析】设较长的铁棒长度为xcm，较短的铁棒长度为ycm，依题意，得：x+y=110(1−13∴（1−13）故选：C．6．（射洪市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说“我来试一试”，结果拼成如图2所示的正方形，中间还留有一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形．则每个小长方形的长和宽分别为（）A．8cm和6cm B．12cm和8cm C．10cm和6cm D．10cm和8cm【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的对边相等及正方形的性质，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：3x=5yx+2y=2x+2，解得：x=10故选：C．7．（福山区期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（）A．200 B．201 C．202 D．203【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得，4x+3y=nx+2y=m两式相加得，m+n＝5（x+y），∵x、y都是正整数，∴m+n是5的倍数，∵200、201、202、203四个数中只有200是5的倍数，∴m+n的值可能是200．故选：A．8．（崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（）A．15 B．16 C．17【分析】根据题意、结合图形可以得到方程组a+3b=30a=3b，解出a|B【解析】∵大长方形的宽为30cm，∴a+3b＝30，根据图③可得3b＝a，组成方程组a+3b=30a=3b，解得：a=15∵阴影面积为3（a﹣b）2，整个图形的面积为：4a（a+3b），∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为3(a−b)故选：B．9．（福山区期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则两个小长方形的面积是（）A．1200 B．1600 C．1800 D．2400【分析】根据长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入2xy中即可求出结论．【解析】依题意，得：2x=x+3yx+2y=100，解得：x=60∴2xy＝2×60×20＝2400．故选：D．10．（抚州期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A．45 B．48 C．63 D．64【分析】设左下角的小正方形边长为x，左上角最大的正方形的边长为y，根据矩形的长和宽列出方程组求解即可．【解析】设左下角的小正方形边长为x，左上角最大的正方形的边长为y，根据题意得：3x−1=y3x+(x+1)=y+(y−1)，解得x=2矩形的长＝2+2+2+3＝9，宽＝2+5＝7，面积＝7×9＝63．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（瑶海区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为79．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．【解析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得x+3y=179+3y=2y+x，解得x=11∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．故答案为：79．12．（常熟市期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于8．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长及宽，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：2x+y=10x+2y=8，解得：x=4∴xy＝4×2＝8．故答案为：8．13．（雄县期末）如图所示，8个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是300cm2．【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽＝40cm，小长方形的长+小长方形宽的3倍＝小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小正方形的长与宽，最后求得小正方形的面积．【解析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组x+y=40x+3y=2x，解得x=3030×10＝300cm2．答：每块小长方形地砖的面积是300cm2．故答案为：300cm2．14．（赣榆区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是76cm．【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．【解析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意得x+a−y=79y+a−x=73，两式相加得：2a＝152，解得a故答案为：76cm．15．（高邮市二模）如图，汪曾祺纪念馆中的仿古墙独具特色，其中一处是由10块相同的小矩形砖块拼成了一个大矩形，若大矩形的一边长为75cm，则小矩形砖块的面积为675cm2．【分析】设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由图形的条件列出方程组，可求解．【解析】设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意可得：x+2y=752x=3y+x，解得：x=45∴小矩形砖块的面积为＝45×15＝675cm2，故答案为：675．16．（遂平县期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为375mm2．【分析】设小长方形的长为xmm，宽为ymm，观察图形发现“3x＝5y，2y﹣x＝5”，联立成方程组，解方程组即可得出结论．【解析】设小长方形的长为xmm，宽为ymm，由题意，得：3x=5y2y−x=5，解得：x=25则每个小长方形的面积为：25×15＝375（mm2）故答案是：375．17．（工业园区期末）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为24cm2．【分析】设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm，根据图形列出方程组求得两个正方形的长和宽，从而求得答案．【解析】设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm，根据题意得：4x+2y=122y−4x=4，解得：x=1∴小长方形的长为2cm，大长方形的长为8cm，∴图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为：4×8﹣4×1×2＝24cm2．故答案为：24．18．（德城区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是16cm，则小长方形的面积是3cm2．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论．【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：x=3y2(2x+2y)=16，解得：x=3∴小长方形的面积为3×1＝3（cm2）．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（古丈县期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形．求大长方形的面积．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的对边相等及大长方形的周长为68，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的计算公式即可求出大长方形的面积．【解析】设小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：2x=5y2(2x+x+y)=68，解得：x=10∴S大长方形＝2x•（x+y）＝2×10×（10+4）＝280．答：大长方形的面积为280．20．（望花区校级月考）列二元一次方程组解实际问题．某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？【分析】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，根据正方形纸片及长方形纸片的张数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，依题意，得：4x+3y=270x+2y=105，解得：x=45答：可以恰好制作45个甲种盒子，30个乙种盒子．21．（南关区校级二模）学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具（如图①）拼出一个大长方形和一个正方形（如图②、图③），其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．【分析】由图中所拼长方形与正方形的边的关系，可分别找出等量关系3a＝5b和2b+a＝2a+3，联立整理即得所求方程组．【解析】根据题意得：3a=5b2b+a=2a+3，解得：a=15∴一个小长方形模具的面积＝ab＝15×9＝135．22．（淮南期末）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，由大长方形的周长及上下两边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总价＝单价×长方形的面积即可求出结论．【解析】设小长方形的长为x米，宽为y米，依题意，得：2x=5y2(2x+x+2y)=76，解得：x=10∴210×2x×（x+2y）＝75600（元）．答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．23．（盘龙区期末）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索