专项18-四边形中的最值问题-专题训练

四边形中的最值问题-专项训练（30道）一、选择题1．（德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（）A．1+2 B．1+3 C．3 2．（西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.23．（龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．62 B．32 C．44．（重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（）A．2 B．2 C．8 D．45．（马鞍山期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GHA．3 B．62 C．636．（潜山市期末）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（）A．2 B．2 C．22 D．427．（蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为52，则AD的值为（）A．5 B．6 C．7 D．88．（南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．209．（连云港期末）如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（）A．5 B．4 C．43 D．10．（惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．9 C．92 D．911．（邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2 B．4 C．2 D．2212．（宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．210 B．42 C．6 D．813．（宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．12 B．20 C．48 D．8014．（重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 15．（江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A．5+3 B．213−2 C．210−6二、填空题16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为．17．（椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接PA，则PA的最小值是．18．（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是CD上一个动点，点F，G分别是AB，AE的中点，则线段FG的最小值是．19．（东海县期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，对角线交于点O，点E在AD上，且DE=14AD，点F是OB的中点，点G为对角线AC上的一动点，则GE﹣GF的最大值为20．（淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是．21．（龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是．22．（茅箭区校级期末）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为．23．（北仑区二模）如图，△ABC的边AB＝3，AB边上的中线CM＝1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连接GD，取GD中点N．则点N到线段AB的距离最大值为．24．（眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是25．（海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN=5，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为26．（浙江自主招生）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．27．（乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+PA＝6，则AB长的最大值为．28．（寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．29．（河西区二模）已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．30．（鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为．

四边形中的最值问题-专项训练（30道）解析版一、选择题1．（德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（）A．1+2 B．1+3 C．3 【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE=2，OE＝1，再根据OC≤CE+OE＝1+2，即可得到点C到原点O距离的最大值是1【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOB＝90°，∴Rt△AOB中，OE=12又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，∴Rt△CBE中，CE=1又∵OC≤CE+OE＝1+2∴OC的最大值为1+2即点C到原点O距离的最大值是1+2故选：A．2．（西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2【解题思路】AM=12EF=12AP，所以当【解答过程】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=12AP，由勾股定理知BC∵S△ABC=12AB•AC=12∴AP=3×4∴AM=12AP故选：D．3．（龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．62 B．32 C．4【解题思路】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．【解答过程】解：连接BP，如图，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF为矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根据勾股定理可解得BP＝32，∴EF得最小值为32．故选：B．4．（重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（）A．2 B．2 C．8 D．4【解题思路】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，∠EAO=∠FDOAO=DO∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF=2OE=2∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝22，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤22，∴22≤EF所以线段EF的最小值为22．故选：C．5．（马鞍山期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GHA．3 B．62 C．63【解题思路】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出【解答过程】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝23，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=2∴GH=6即GH的最小值为62故选：B．6．（潜山市期末）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（）A．2 B．2 C．22 D．42【解题思路】连接DG，可证△AGD≌△AEB，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．【解答过程】解：连接DG，如图，，∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，∴∠GAD＝∠BAE，∵AB＝AD，AG＝AE，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴∠PDG＝∠ABE＝45°，∴G点轨迹为线段DH，当PG⊥DH时，PG最短，在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，x2+x2＝42，解得x=22故选：C．7．（蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为52，则AD的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．【解答过程】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，，∵AB：AD＝2：1，∴AD＝AE＝EB＝BC，∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，∴∠DEC＝90°，BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．∵H为CD中点，∴CH＝CB，∠GHB＝90°，在Rt△HCB中，BH＝52，∴CH＝CB＝5，故选：A．8．（南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．20【解题思路】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．【解答过程】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，则BE＝2AB＝8，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=B∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B．9．（连云港期末）如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（）A．5 B．4 C．43 D．【解题思路】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．【解答过程】解：连接AO，∵四边形CDGH是矩形，∴CG＝DH，OC=12CG，OD=∴OC＝OD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，在△ACO和△ADO中，AC=ADAO=AO∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB即OB的最小值为4．故选：B．10．（惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．9 C．92 D．9【解题思路】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出【解答过程】解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM的最大值为9，∴AD的最大值为92故选：D．11．（邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2 B．4 C．2 D．22【解题思路】如图，作辅助线；证明△AOE≌△DOF，进而得到OE＝OF，此为解决该题的关键性结论；求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，∠EAO=∠FDOAO=DO∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF=2OE=2∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝22，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤22，∴22≤EF所以线段EF的最小值为22．故选：D．12．（宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．210 B．42 C．6 D．8【解题思路】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答过程】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM=∴AE+CF的最小值为210．故选：A．13．（宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．12 B．20 C．48 D．80【解题思路】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答过程】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH=A∴BF+DE最小值为80．故选：D．14．（重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 【解题思路】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答过程】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB=AB∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)故选：B．15．（江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A．5+3 B．213−2 C．210−6【解题思路】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=12BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI=12∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴当O、D、I共线时，DI有最小值，∵IO=12∴OD=AD2∴ID＝213−2，即DI的最小值为213故选：B．二、填空题16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为4.8．【解题思路】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【解答过程】解：设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=∴BC=O∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝BC∴AP=24故答案为：4.8．17．（椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接PA，则PA的最小值是213．【解题思路】P点运动轨迹为△CDB的中位线，即求A点到这条中位线的最短距离．【解答过程】解：当点E运动时，P点轨迹为△CBD中位线GH，如图，，∵点A到直线GH的最短距离为AF，但是E点在运动中，P点轨迹为GH，∴点A到线段GH的最短距离为AG，∵G为CD中点，∴DG＝4，在Rt△ADG中，AD＝6，DG＝4，∴AG=62+故答案为213．18．（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是CD上一个动点，点F，G分别是AB，AE的中点，则线段FG的最小值是32【解题思路】连接BE，可得FG是△ABE的中位线，要使线段FG最小，需BE最小，当点E与点C重合时，BE最小为3，进而可得线段FG的最小值．【解答过程】解：如图，连接BE，∵点F，G分别是AB，AE的中点，∴FG是△ABE的中位线，∴FG=12要使线段FG最小，需BE最小，当点E与点C重合时，BE最小为3，则线段FG的最小值是32故答案为：3219．（东海县期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，对角线交于点O，点E在AD上，且DE=14AD，点F是OB的中点，点G为对角线AC上的一动点，则GE﹣GF的最大值为13【解题思路】由菱形的性质可得AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD的长，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，可得GF＝GF'，OF＝OF'，则GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，即当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，∴AD=AO如图，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，∵AC⊥BD，点H是AD中点，∴OH＝HD=12AD∵点F与点F'关于AC对称，∴GF＝GF'，OF＝OF'，∴GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，∴当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，∵DE=14AD，HD=∴DE＝EH，∵点F是OB的中点，∴OF=12OB＝OF'=∴EF'=12OH故答案为：13420．（淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是62cm．【解题思路】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．【解答过程】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C=A′B2+BC因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是62cm，故答案为62cm．21．（龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是43+4【解题思路】过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，然后根据含30度角的直角三角形列式计算即可求出EP的最小值．【解答过程】解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，∴∠ACF＝30°，∴∠CGP＝∠EGF＝60°，∵∠F＝90°，∴∠FEG＝30°，设PG＝x，则CG＝2x，∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），∵FG=33∴8﹣2x＝8×3∴x＝4−4∴EP＝EG+PG＝2（8﹣2x）+x＝16﹣3x＝43+故答案为：43+22．（茅箭区校级期末）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为6．【解题思路】连接AM、CM、EM，根据四边形CDEF是矩形，和△ACD是等边三角形，证明△ADM≌△ACM，从而求出∠CAM＝30°，当BM⊥AM时，MB有最小值，然后用含有30°角的直角三角形的性质求出MB．【解答过程】解：连接AM、CM、EM，如图：∵矩形CDEF，M是DF的中点，∴C、M、E共线，∴DM=12DF=12∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AD＝AC，在△ADM和△ACM中，AD=ACDM=CM∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，∵∠DAC＝60°，∴∠CAM＝30°，∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时，BM=12AB故答案为：6．23．（北仑区二模）如图，△ABC的边AB＝3，AB边上的中线CM＝1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连接GD，取GD中点N．则点N到线段AB的距离最大值为52【解题思路】当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，则AC＝BC，∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，通过证明△AMC≌△GOC，可以求出AM，然后再证明出OCNG是矩形，从而求出MN．【解答过程】解：∵点N到AB的距离介于G、D到AB的距离之间，∴当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，则AC＝BC，∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，过点C作CP∥AB，作GO⊥CP，O为垂足，∵PC∥AB，∴∠PCA＝∠CAM，∠PCA+∠OCG＝90°，∠OGC+∠OCG＝90°，∴∠OGC＝∠PCA＝∠CAM，在△AMC和△GOC中，∠AMC=∠GOC∠CAM=CGO∴△AMC≌△GOC（AAS），∴GO＝AM=12AB∵GO⊥PC，MN⊥AB，PC∥AB，∴PC⊥MN，MN⊥GD，∴四边形GDCN是矩形，∴GO＝NC，MN＝CM+CN，∵CM＝1，GO＝NC=3∴MN＝1+3故答案为：5224．（眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是7【解题思路】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE=12PB，则MP+12PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE=12∴MP+12PB＝PM+∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB=ME∴ME=7∴MP+12PB的最小值为故答案为7325．（海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN=5，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为115【解题思路】先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，求出F的坐标，再求出Q的坐标，即可得出答案．【解答过程】解：先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，如图所示，∵AB＝2＝CD，BC＝4，∴C（4，0），BF＝BC＝4，由勾股定理得：BD=BC2由三角形面积公式得：12×CR×BD=12即CR=BC×CD即CF＝2CR=8由勾股定理得：BF2﹣BP2＝CF2﹣CP2，∴42﹣BP2＝（855）2﹣（4﹣BP）解得：BP=12∴FP=4∴F的坐标是（125，16∴Q的坐标是（25，11即CM+EN的最小值为115故答案为：11526．（浙江自主招生）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为2，最小值为2．【解题思路】连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC=12AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC，推出BB′+DD′+CC′=2AP代入求出即可．【解答过程】解：连接AC、DP，S正方形ABCD＝1×1＝1，由勾股定理得：AC=1∵AB＝1，∴1≤AP≤2∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，∴S△DPC＝S△APC=12AP×1＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+BB′+DD′+CC′=2∵1≤AP≤22≤BB′+CC′+DD故答案为：2，2．27．（乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+PA＝6，则AB长的最大值为43【解题思路】连接PC，CE，AC；由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝6≥CE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出CE=32AB，进而求出【解答过程】解：连接PC