专项18-矩形的判定-专题训练

矩形的判定-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（海淀区校级期中）下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形 C．对角互补的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形2．（临海市期末）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE3．（德城区校级月考）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等 B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量门框的三个角是否都是直角4．（襄汾县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA5．（十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．① B．② C．③ D．④6．（普陀区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（辉县市期末）如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.88．（邳州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下面条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝AD9．（工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（）A．2cm B．3cm C．2cm 10．（金乡县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．3013≤AM＜6 B．5≤AM＜12 C．125≤AM＜12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．12．（花都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是．13．（潮安区期末）如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是．14．（丰顺县期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝时，四边形ABEC是矩形．15．（雨花区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是．16．（柘城县期末）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．17．（房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是．18．（江干区期末）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（玄武区二模）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝°时，四边形BECD是矩形．20．（吴中区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．（南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：DE＝BF；（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．22．（东莞市校级期末）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．23．（北海期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．（1）若CE＝4，CF＝3，求OC的长．（2）连接AE、AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．24．（武威模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

矩形的判定-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（海淀区校级期中）下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形 C．对角互补的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形【分析】由矩形和菱形的判定方法得出A、B、D不正确，C正确，即可得出结论．【解析】∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A不正确；∵两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B不正确；∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项C正确；∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项D错误；故选：C．2．（临海市期末）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO=12AC C．AC⊥BE D．AE【分析】先证四边形AECF是平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行推理论证即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO=12AC时，EF＝∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．3．（德城区校级月考）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等 B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量门框的三个角是否都是直角【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定，依次判断可求解．【解析】∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C符合题意，∵三个角都是直角的四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．4．（襄汾县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，A、OA＝OC时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故选项A符合题意；B、AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、DA⊥AB时，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∠OAB＝∠OBA时，OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．5．（十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据矩形的判定进行分析即可．【解析】A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．6．（普陀区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【解析】顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO．∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC．根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO．∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO．∴AO＝OD．∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C．7．（辉县市期末）如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解析】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值为：AC⋅BCAB∴线段EF长的最小值为2.4．故选：B．8．（邳州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下面条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝AD【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此分析判断．【解析】A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．故选：A．9．（工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（）A．2cm B．3cm C．2cm 【分析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE＝1，根据勾股定理即可得到结论．【解析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵CD＝1，∴DE＝1，∵AD∥BC，∠ABC＝45°，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝1，∴AD=2∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC=A故选：B．10．（金乡县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．3013≤AM＜6 B．5≤AM＜12 C．125≤AM＜12 【分析】首先证明四边形AEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长AM经过点P，推出EF＝AP，可得AM=12EF=12PA，求出PA的最小值可得AM的最小值，又由AP＜【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC=5∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长AM经过点P，∴EF＝AP，AM=12EF=当PA⊥CB时，PA=5×12∴AM的最小值为3013∵PA＜AC，∴PA＜12，∴AM＜6，∴3013≤故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠ABC＝90°或AD⊥AB，使平行四边形ABCD是矩形．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．【解析】添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．故答案是：∠ABC＝90°．12．（花都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是AC＝BD或∠ABC＝90°．【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解析】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．（潮安区期末）如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是②③．【分析】由三角形中位线定理可得EF∥CD，HG∥CD，EF=12EF，HG=12CD，HE=12AB，AB∥HE，可证四边形是平行四边形，可判断①，由AB＝CD可证平行四边形HEFG是菱形，可判断②，由AB⊥【解析】∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF∥CD，HG∥CD，EF=12EF，HG=12CD，HE=12∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠BCD＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，故答案为：②③．14．（丰顺县期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解析】当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，由题意易得AB∥EC，AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．15．（雨花区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，由等腰三角形的判定可得BO＝CO，可得AC＝【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO=12AC，BO＝DO=∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为矩形．16．（柘城县期末）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）17．（房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是①③④．【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴∠ACB＝∠DCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故答案为：①③④．18．（江干区期末）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为矩形．【分析】直接利用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．【解析】四边形ABCD为矩形．理由：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：矩形．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（玄武区二模）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝40°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，∠OEB=∠ODC∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：80．20．（吴中区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠BAD＝60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝（2）先证四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD＝90°，即可得出结论．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．21．（南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：DE＝BF；（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得出∠EDB＝∠DBF，则DE∥BF，可证出结论；（2）由等腰三角形的性质得出DE⊥AB，则可得出结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=1∴∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，又∵AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE＝BF．（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形．22．（东莞市校级期末）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，证出EG＝CF，则四边形EGCF是平行四边形，由∠GEF＝90°，即可得出四边形EGCF是矩形．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．23．（北海期末）如图，在△ABC中，点O是边AC