三元一次方程组的解法（单元教学设计）-七年级数学下册同步备课系列（人教版）

8.4三元一次方程组的解法（单元教学设计）一、【单元目标】通过《九章算术》里的题目，引出本章的主旨内容—三元一次方程组，通过设三个未知数，列出三元一次方程组，让学生掌握三元一次方程组的概念，再通过“消元”的思维，将三元转化为二元，再转化为一元，即可解出三元一次方程组，让学生切实体会到三元一次方程组的解法；（1）本节将从三元一次方程组的概念出发，将概念的组成条件展现出来，使学生可以从字面意思上理解三元一次方程组的三要素：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程；（2）通过设置小组合作探究，让学生参与教学过程，利用掌握的二元一次方程组的解法，自己动手解三元一次方程组，并从中总结出经验，培养学生的思维能力和实践能力；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；二、【单元知识结构框架】三元一次方程组的解法三元一次方程组的概念三、【学情分析】1．认知基础三元一次方程组的解法是相对拓展的内容，主要是对二元一次方程组的深化理解，学会将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，即可达到解方程组的目的；三元一次方程组的概念、解法和应用的学习，加强学生解决多个未知数题型的能力，同时丰富了对方程的理解；2.认知障碍三元一次方程组主要问题在于解法容易出错，遇到复杂系数的三元一次方程组问题，往往不知从何下手；三元一次方程组的应用题型，需要对情况进行分类；三元一次方程组，是对二元一次方程组问题的深入学习，要有举一反三的能力；四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：三元一次方程组的概念与解法；教学难点：三元一次方程组的实际应用问题；五、【教学问题诊断分析】【情境导入】《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？8.4.1三元一次方程组的概念问题1：下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y＝1，,y＋z＝0，,xz＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1＝1，,\f(1,y)＋z＝2，,\f(1,z)＋x＝6))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋d＝1，,a－c＝2，,b－d＝3))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝18，,n＋t＝12，,t＋m＝0))【破解方法】满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．【解析】A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.8.4.2三元一次方程组的解法问题2：解下列三元一次方程组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝y＋x，①,2x－3y＋2z＝5，②,x＋2y＋z＝13；③))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝11，①,x＋y＋z＝0，②,3x－y－z＝－2.③))【破解方法】解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．【解析】(1)将①代入②、③，消去z，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,2x＋3y＝13.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，,z＝5；))(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝11，,5x＋2y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4).))把x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(23,4)代入②，得z＝－eq\f(21,4).所以原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4)，,z＝－\f(21,4).))8.4.3三元一次方程组的应用问题3：（三元一次方程组在非负数中的应用）若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．【破解方法】非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【解析】解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－1＝0，,b－2a＋c＝0，,2c－b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－4，,c＝－2.))问题4：（利用三元一次方程组解决数字问题）一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的eq\f(3,4)，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．【破解方法】解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．【解析】解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)z，,x＋y＝z＋1，,100z＋10y＋x＝100x＋10y＋z＋495，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6，,z＝8.))答：原三位数是368.问题5：（列三元一次方程组解决实际问题）某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？【破解方法】题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.【解析】解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝54，,z＝4.))答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可．【详解】解：由三元一次方程组的定义得是三元一次方程组，故选：C．【点睛】此题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．2．已知方程组，则的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三个方程相加即可得到的值．【详解】解：方程组，三个方程相加得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．3．在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买支，若钢笔每支元，相册每本元，笔记本每本元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】根据题意设未知数，列出方程，然后分类讨论即可．【详解】解：设购买钢笔x支，相册y本，笔记本z本，根据题意得20x+10y+5z=100，化简，得4x+2y+z=20，∵钢笔最多买2支，∴x可以取1、2，当x=1时，4+2y+z=20，即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7种；当x=2时，8+2y+z=20，即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5种；∴一共有买法7+5=12(种)，故选：D．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题关键．4．含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20【答案】

三

15．若是一个三元一次方程，那么_______，________．【答案】

-1

0【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．【详解】由题意得：，解得：．故答案为：-1，0．【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．6．解方程组：【答案】【详解】解：①＋②，解得y＝8．将y＝8代入②和③，得，解得，所以原方程组的解为．2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（

）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③【答案】C【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去【详解】得：得：方程组变形为，刚好消去z故选：C【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．【变式2】已知，则的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入计算，得出的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【详解】解：在中，∵，，，，∴可得：，解得：，∴，∴的相反数是．故选：B【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、解三元一次方程组、求代数式的值、相反数，解本题的关键在得出、、的值．【变式3】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（

）元A．33 B．34 C．35 D．36【答案】B【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，①②得：．故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．【变式4】已知、、满足，，则__．【答案】20【分析】仔细观察两个等式中的、、的系数知，两式相加得，由此即可解题．【详解】解：、、满足①，②，①②得：，即：，所以．故答案为：20．【点睛】本题考查的是解三元一次方程组．解答此题时，注意寻找其中的技巧，即两个等式相加后，恰好是的4倍．【变式5】解方程组：【答案】【分析】得：，将代入求出x的值，将x的值代入求出y的值，再将x，y的值代入求出z的值．【详解】解：，得：，将代入，得：，解得，将代入，得：，将，代入，得，解得，故该方程组的解为：．【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．【变式6】在中，当时，；时，；时，，求、、的值．【答案】．【分析】将，；，；，代入方程列出三元一次方程组，然后进行求解．【详解】解：将，；，；，代入得：，解得：．∴．【点睛】此题主要考查三元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意列出方程组．3．课后作业设计意图：巩固提升.1．若方程组的解是，则的值是（

）A．－3 B．0 C．3 D．6【答案】A【分析】先把代入原方程组，可得，由①-②可得，再把代入①，可得，然后代入，即可求解．【详解】解：∵方程组的解是，∴，由①-②得：，∴，把代入①，得：，∴，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．2．方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．【详解】解：，由①得④，由②得⑤，将④⑤代入③得，，解得，将代入④得，将代入⑤得，原方程组的解为．故选C．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．3．小李在某电商平台上选择了甲，乙，丙三种商品，当购物车内选件甲，件乙，件丙时显示价格为元；当选件甲，件乙，件丙时显示价格为元，那么购买甲，乙，丙各一件时显示价格为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由题意得：，由①+②得：，进而得出，即可得出答案．【详解】解：设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由题意得：，由①+②得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，正确列出方程组并求出是解决问题的关键．4．方程组的解为________．【答案】【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．【详解】解：由①得：④，由③得：⑤，把④和⑤代入到②得：，解得，把代入④得：，把代入⑤得：，∴方程组的解为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．5．代数式，当时值为；当时值为；当时值为，则这个代数式是__________．【答案】【分析】将x的值代入代数式中，解三元一次方程组即可．【详解】解：分别将，，代入得：解得：故答案为：．【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．利用消元法，把三元变二元，