2009年宁夏中考数学试题及答案

页2009年宁夏中考数学试卷（教师版）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a4＝x12 B．（﹣6a6）÷（﹣2a2）＝3a3 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．2a﹣3a＝﹣a【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式．【思路】根据合并同类项法则，同底数的幂的定义、乘方的概念解答．【解析】解：A、应为a3•a4＝x7，故本选项错误；B、应为（﹣6a6）÷（﹣2a2）＝3a4，故本选项错误；C、应为（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项错误；D、2a﹣3a＝﹣a，正确．故选：D．【点拨】本题主要考查同底数幂乘法法则，单项式除以单项式，应把系数，同底数幂分别相除；完全平方公式；合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，熟练掌握运算性质和法则是解题关键．2．（3分）某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2＝64 B．25（1﹣x）2＝64 C．64（1+x）2＝25 D．64（1﹣x）2＝25【微点】由实际问题抽象出一元二次方程．【思路】本题依题意可知四月份的人数＝25（1+x），则五月份的人数为：25（1+x）（1+x）．再令25（1+x）（1+x）＝64即可得出答案．【解析】解：设每月的平均增长率为x，依题意得25（1+x）2＝64；故选A．【点拨】本题考查了一元二次方程解增长率问题的知识．3．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A． B． C． D．【微点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路】本题的关键是先解不等式组，然后再在数轴上表示．【解析】解：由（1）得x＞﹣1，由（2）得x≤1，所以﹣1＜x≤1．故选B．【点拨】本题考查一元一次不等式组的解集及在数轴上的表示方法．4．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85．下列表述错误的是（）A．众数是85 B．平均数是85 C．中位数是80 D．极差是15【微点】算术平均数；中位数；众数；极差．【思路】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．【解析】解：这组数据中85出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位85；由平均数公式求得这组数据的平均数位85，极差为95﹣80＝15；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是85，故中位数为85．所以选项C错误．故选：C．【点拨】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．5．（3分）一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【微点】一次函数的性质．【思路】根据k、b的值确定一次函数y＝3x﹣4的图象经过的象限．【解析】解：k＝3＞0，图象过一三象限；b＝﹣4＜0，图象过第四象限，∴一次函数y＝3x﹣4的图象不经过第二象限．故选：B．【点拨】本题考查一次函数的k＞0，b＜0的图象性质．6．（3分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A．24π B．32π C．36π D．48π【微点】由三视图判断几何体．【思路】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的体积．【解析】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2，高是6．所以该几何体的体积为π×4×6＝24π．故选：A．【点拨】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的面积，考查学生的空间想象．7．（3分）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【微点】轴对称图形．【思路】根据轴对称图形的概念求解．【解析】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．故选：C．【点拨】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0【微点】二次函数图象与系数的关系．【思路】本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．【解析】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x1，得2a+b＝0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x＝﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x＝﹣1时，y＜0，即y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0，错误．故选：D．【点拨】在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：m3﹣mn2＝m（m+n）（m﹣n）．【微点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．【解析】解：m3﹣mn2，＝m（m2﹣n2），＝m（m+n）（m﹣n）．【点拨】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA的值是．【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【思路】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC，∴cosA．【点拨】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．11．（3分）已知：a+b，ab＝1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是2．【微点】整式的混合运算—化简求值．【思路】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．【解析】解：（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4，当a+b，ab＝1时，原式＝1﹣24＝2．故答案为：2．【点拨】本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想．12．（3分）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为120元．【微点】一元一次方程的应用．【思路】依据题意建立等量关系商品标价＝进价×（1+5%）÷70%【解析】解：设售货员应标在标签上的价格为x元，依据题意70%x＝80×（1+5%）可求得：x＝120，故价格应为120元．【点拨】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．13．（3分）用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为．【微点】勾股定理；弧长的计算．【思路】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．【解析】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是，若底面半径是R，则，∴R＝2，∴圆锥的高是．【点拨】考查圆锥侧面积计算的知识．14．（3分）如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有3对．【微点】梯形．【思路】观察可得到有两对同底同高的三角形，同时S△ABD﹣S△AED＝S△ADC﹣S△AED所以共有三对面积相等的三角形．【解析】解：观察可得到有两对同底同高的三角形，即S△ABC＝S△BCD，S△ABD＝S△ADC，同时S△ABD﹣S△AED＝S△ADC﹣S△AED得，S△AEB＝S△CED所以共有3对面积相等的三角形．【点拨】本题考查梯形的性质及三角形面积公式的应用．15．（3分）如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为8．【微点】等腰三角形的性质．【思路】由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD＝DC，再根据三角形的周长定义求解．【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC．∵AB+AC+BC＝32，即AB+BD+CD+AC＝32，∴AC+DC＝16∴AC+DC+AD＝24∴AD＝8．故填8．【点拨】本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键．16．（3分）如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为．【微点】三角形的内切圆与内心．【思路】先求出三角形ABC的面积，从而求出内切圆的半径，进而可求出圆的面积．图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S⊙O．【解析】解：连接OA，OD（AB上的内切点）．由于等边三角形的内心就是它的外心，可得ADAB＝1，∠OAB∠CAB＝30°；在Rt△OAD中，tan30°，即，得0D．∴图中阴影部分的面积等于S△ABC﹣S⊙O22﹣π（）2π．【点拨】本题考查等边三角形的性质及内切圆的概念和计算．三、解答题（共10小题，满分72分）17．（6分）计算：（﹣2009）0+（）﹣1+|1|．【微点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【思路】2；任何不等于0的数的0次幂都等于1；一个数的负指数等于这个数的正指数次幂的倒数；正数的绝对值是它本身．【解析】解：原式＝21+21＝3．【点拨】此题考查了二次根式的化简、零指数、负指数、绝对值的概念．18．（6分）解分式方程：【微点】解分式方程．【思路】因为3﹣x＝﹣（x﹣3），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣3），去分母时要注意符号变化．【解析】解：去分母得：1﹣x＝2（x﹣3），整理方程得：﹣3x＝﹣7，∴x，经检验x是原方程的解，∴原方程的解为x．【点拨】解分式方程时要注意以下几方面：（1）要准确确定最简公分母；（2）去分母时要注意符号变化，不要漏乘常数项；（3）求出解后一定要进行检验．19．（6分）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标．【微点】反比例函数综合题．【思路】比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，1）．把A点的坐标代入函数解析式就可以求出函数的解析式．解两个函数解析式组成的方程组就可以求出函数的交点坐标．【解析】解：（1）把点A（2，1）分别代入y＝k1x与得：，k2＝2．（2分）∴正比例函数、反比例函数的表达式为：．（3分）（2）由方程组得，．∴B点坐标是（﹣2，﹣1）．（6分）【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式．20．（6分）桌子上放有质地均匀，反面相同的4张卡片．正面分别标有数字1，2，3，4，将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出1张卡片，用卡片上所标的数字作为十位上的数字，将取出的卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽取1张卡片，用卡片上所标的数字作为个位数字．试用列表或画树状图的方法分析，组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？【微点】列表法与树状图法．【思路】列举出所有情况，让组成的两位数恰好能被3整除的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解析】解：列表：个位数十位数1234111121314221222324331323334441424344树状图：（3分）∴一共有16种情况，能被3整除的两位数的有5种情况，∴能被3整除的两位数的概率是．（6分）【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（6分）在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．【微点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；利用频率估计概率．【思路】（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆即可求出答案；（2）利用C型号轿车销售的成交率为50%，求出C型号轿车的售出量，补充统计图即可；（3）分别求出各种型号轿车的成交率即可作出判断；（4）先求出已售出轿车的总数，利用售出的A型号车的数量即可求出答案．【解析】解：（1）∵1﹣35%﹣20%﹣20%＝25%，∴1000×25%＝250（辆）．答：参加销展的D型轿车有250辆；（2）如图，1000×20%×50%＝100；（3）四种型号轿车的成交率：A：100%＝48%；B：100%＝49%；C：50%；D：100%＝52%∴D种型号的轿车销售情况最好．（4）∵．∴抽到A型号轿车发票的概率为．【点拨】利用统计图解决问题时，要善于从图中寻找各种信息．当一个事件的频率具有稳定性时，可以用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．部分数目＝总体数目乘以相应概率．22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．【微点】平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．【思路】根据翻折变换的特点可知∠ECA＝∠ACD，由CD＝AD可知∠CAD＝∠ACD，所以∠ECA＝∠CAD，故EC∥AB．【解析】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，∴CD＝AD．∴∠CAD＝∠ACD．又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，∴∠ECA＝∠ACD．∴∠ECA＝∠CAD．∴EC∥AB．【点拨】本题考查图形的翻折变换平行线的判定和直角三角形的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后角相等．23．（8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD＝CD．【微点】等腰三角形的性质；圆周角定理．【思路】（1）∠EBC的度数等于∠ABC﹣∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．（2）在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°．∴∠EBC＝22.5°．（4分）（2）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（8分）【点拨】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．24．（8分）如图，抛物线yx2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【微点】抛物线与x轴的交点；勾股定理的逆定理．【思路】（1）抛物线yx2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，分别将x＝0，y＝0代入求得A、B、C的坐标；（2）由（1）得到边AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理来判定△ABC为直角三角形；（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线yx2x+2与x轴交于A、B两点，∴x2x+2＝0．即x2x﹣4＝0．解之得：x1，x2＝2．∴点A、B的坐标为A（，0）、B（2，0）．（2分）将x＝0代入yx2x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分）（2）∵AC，BC＝2，AB＝3，∴AB2＝AC2+BC2，则∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（6分）（3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2）设y＝2，把y＝2代入yx2x+2得：x2x+2＝2，∴x1＝0，x2．∴P点坐标为（，2）．（8分）【点拨】此题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点．25．（10分）如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据：1.41，1.73）【微点】解直角三角形的应用．【思路】如图所示，要想求出踏板AB离地面的高度至少等于多少cm，即必须求出A′N，而A′N∥B′M，所以△A′NP∽△B′MP，又∵A′P和PB′的长为已知量，所以在成立的前提下，必须求出MB′，而MB′＝H′C，因此最终解决点是求出H′C，在△H′CD中sin60°，由此可以求出H′C＝MB′，因此可以求出NA′＝3.5，所以AB离地面至少3.5cm．【解析】解：作A′N⊥AB于N点．在Rt△H′CD中，若∠HDH′不小于60°，则，即H'CH'D＝4．∵B'M＝H'C≥4，又∵Rt△A′NP∽Rt△B′MP，∴，∴A′N23.5cm．∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．【点拨】解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到相似三角形和解直角三角形中，利用它们的性质只要求出CH′的长，一切问题都迎刃而解．26．（10分）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，