人教选修第19讲抛物线的简单几何性质（2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测）（解析版）-A4

第19讲抛物线的简单几何性质（2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测）知识点1：抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．知识点2：直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．要点：抛物线的焦点弦及通径问题1.焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦2.通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦.3.有关抛物线焦点弦的结论如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ.则有：(1)AB=x1+x2+p=2psi(2)x1x2=p24，y1y2=-p2，OA·OB=-34(3)AF=p1-cosθ，BF=p(4)1AF+1BF=(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)以AB为直径的圆与准线相切；(7)A，O，B'共线，A'，O，B共线；(8)∠A'FB'=90°；(9)S△AOB=p2(10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上.4.圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-a2c，x=题型1：抛物线几何性质的应用【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出AB的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解.【详解】易知过点的直线为：，设Ax1,y1由得，则，因为，则．故D正确.故选：D.【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出可得答案.【详解】由题可知，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，解得，或，因为点在第一象限，所以，所以.故选：B.【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为．【答案】【分析】联立方程，利用韦达定理可得，线段的中点，利用中垂线求得，进而可得面积.【详解】设Ax联立方程，消去x可得，则，可得，则，且，可知线段的中点，则线段的中垂线方程为，令，则，可得，所以的面积为．故答案为：.【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为，(1)求的值．(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.【答案】(1)(2)12【分析】（1）由两直线垂直得到直线，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可；（2）设线段的中点为，由中点坐标公式得到方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可；【详解】（1）设Ax因为交于点，点的坐标为，所以直线的方程为，联立，消去可得，，则，因为，所以，即，即，解得，（2）设线段的中点为，由（1）知，所以，所以，即，联立，消去可得，，设，则，所以，又点到直线的距离为，所以的面积为.题型2：利用抛物线的性质求抛物线方程【例题2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案.【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，故，解得，抛物线的标准方程为．故选：D．【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】准线与直线的距离为，计算得到答案.【详解】抛物线的准线为，准线与直线的距离为，故，解得，故此抛物线的方程为.故选：B.【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上，使得四边形为菱形且面积为．若，则抛物线方程为．【答案】【分析】根据菱形可得与互相垂直平分，故可得，根据面积可求抛物线的方程.【详解】依题意与互相垂直平分，又，，则，则，解得，所以抛物线方程为．故答案为：.【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程．【答案】【分析】先根据对称性设点，再结合面积公式求参，进而得出，得出抛物线方程.【详解】不妨设点A在第一象限且，则，可得，轴，且，即为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即，由的面积为16，可得，解得，所以，所以抛物线C的方程为．题型3：直线与抛物线的位置关系【例题3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【答案】D【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：D【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】B【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案.【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点．故选：B.【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是．【答案】或【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故答案为：或.【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【答案】答案见解析【分析】联立方程组消元，分二次系数是否为0讨论，结合判别式即可求解.【详解】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，∴直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，，∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点．综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点．题型4：与抛物线有关的弦长问题【例题4】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（

）A． B．12 C． D．13【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得.【详解】由消去y并整理得，，设Ax1,y1，B.故选：C【变式1】（21-22高二上·宁夏·阶段练习）直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果.【详解】解：设，由，消去y得，由题意得，∴，.故选：B【变式2】（23-24高二上·四川泸州·期末）过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为．【答案】8【分析】首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求直线的方程，并代入焦点弦长公式，即可求解.【详解】抛物线的焦点F1,0，显然的斜率不为0，设直线，Ax联立x=my+1y2=4，，则，，，，，解得：，所以，.故答案为：8【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，在处的两条切线交于点，过作垂直于轴的直线交于两点（点在点的上方），且，求直线的方程．【答案】【分析】设直线的方程为，根据直线与抛物线相切结合设而不求的方法可得，根据可求，从而可求直线的方程．【详解】易知椭圆的右焦点为F1,0，因为椭圆与抛物线有共同焦点，所以，即，所以抛物线的方程为，显然直线的斜率，可设直线的方程为，由得，,不妨设Ax1,y1设在点Ax1,y由，得，所以，解得，故，所以在Ax1,y1处的切线方程为，同理在由，得，，所以．将代入，得，，又，所以，解得，所以直线的方程为．题型5：与抛物线有关的中点弦问题【例题5】（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.【详解】设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A.【变式1】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.【详解】设，因为中点的横坐标为，则，可得，又由，两式相减得到，可得，可得，解得或，联立方程组，整理得，由，解得，所以.故选：B.【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则.【答案】2【分析】联立直线与抛物线方程，得到两根之和，从而得到方程，求出或，舍去不合要求的根.【详解】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意，故，联立，整理得，由0，解得，设，则因为中点的横坐标为2，则，故，解得（舍去）或，所以.故答案为：2【变式3】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．(1)求p的值；(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）设Ax1,y1，【详解】（1）由抛物线的定义得，故．（2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，设Ax1,y1∴，，当M，F不重合时，相减整理得，，∴，即，当M，F重合时，满足上式．∴点M的轨迹方程为．题型6：与抛物线有关的定值问题【例题6】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案.【详解】抛物线的焦点为，由题意可知：可知直线与抛物线必相交，设，，，，则，设的方程为，联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得，即，同理可得，则，可得，设直线为，联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得，所以.故选：A.【变式1】（21-22高二上·全国·课后作业）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是．【答案】【分析】设出直线AB方程，与抛物线方程联立得出与，再代入斜率公式即可得出答案.【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，联立方程，得，，，.所以.故答案为：.【变式2】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点.(1)若，求直线的方程．(2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由．【答案】(1)或(2)直线的斜率为定值0，理由见解析【分析】（1）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时设，联立抛物线方程结合韦达定理、焦点弦弦长公式可得关于的方程，解方程并检验此时是否满足即可；（2）首先得，又，从而由即可判断.【详解】（1）由题意知，抛物线焦点F1,0当直线斜率不存在时，联立与抛物线，解得，此时AB=4，不满足题意，当直线斜率存在时，设，由，得，注意，由韦达定理知，，由抛物线的弦长公式，解得，经验证，此时满足，所以，直线的方程为或．（2）设，则直线与准线的交点为，由（1）知，则，从而．所以，直线的斜率为定值0．【变式3】（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由.【答案】(1)；(2)是，.【分析】（1）设圆心，半径为，由两点间距离公式和圆的弦长公式列方程，消去即可；（2）设直线方程为，联立抛物线方程消去x，利用斜率公式将用坐标表示，然后由韦达定理代入化简即可.【详解】（1）设圆心，半径为，由圆过点得，又因为圆在轴上截得的弦长为4，所以，则，整理得.（2）易知直线的斜率不为0，设直线方程为，即，联立消去得，由得或，设，则，，所以，即等于定值1.题型7：与抛物线有关的定点问题【例题7】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线l的方程为，代入抛物线方程由韦达定理可表示出，结合也表示出，可解出的值得直线所过定点．【详解】设，，则，，设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，，，，所以直线l一定过定点.故选：A【变式1】（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A【变式2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为.【答案】【分析】设出切线方程后代入抛物线方程，利用可求得，再通过方程的解可求得切点坐标，继而求出切线斜率，得到切线方程，进一步分析即可.【详解】设过点的切线方程为，代入抛物线方程得：,其判别式，即，故得，，又的解为，所以切点的横坐标为，代入抛物线方程可求得切点坐标为，设，令，则，即切点的坐标为;令，则，即切点的坐标为，故直线的斜率故直线的方程为，当时，即直线过定点【变式3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．(1)求的方程；(2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证．【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，此时，则曲线的方程为；（2）证明：设直线的方程为，，，联立，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，，因为，所以，因为，所以，解得，设点为的中点，此时，所以直线的方程为，令，解得．故点为定点，坐标为题型8：与抛物线有关的最值（取值范围）问题【例题8】（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可【详解】设，则有，又，所以因为，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最小值为2，故选：A【变式1】（21-22高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果．【详解】抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是，则抛物线的方程为，因为，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是，在抛物线上，是抛物线的焦点，，当三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为，故选：．【变式2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是．【答案】/【分析】根据抛物线定义可得点到直线的距离等于PF，结合结论两点之间线段最短，垂线段最短求结论.【详解】抛物线的焦点的坐标为2,0，准线方程为，由抛物线定义可得点到直线的距离等于PF，过点作直线的垂线，垂足为，所以点到直线与到直线的距离之和等于，由两点之间线段最短可得，过作直线的垂线，垂足为，，所以，当且仅当三点共线时等号成立．故答案为：.

【变式3】（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线，.(1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值；(2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）设，表达出，求出最小值；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即得.【详解】（1）设，，当，即时，取得最小值，最小值为；（2）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，设直线的方程是，与抛物线联立，消x得，设Mx1,则，，故，故.题型9：与抛物线有关的对称问题【例题9】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标.【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，故和直线垂直，所以，故，又，所以，故中点坐标是，即故选：B【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（

）A． B．1 C．2或4 D．4或36【答案】D【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可.【详解】因为是上一点，所以，所以，由抛物线的定义可得到的距离为，点到的对称轴的距离为，则，解得或.故选：D.【变式2】（24-25高二上·上海·期中）过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则.【答案】4【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，抛物线焦点为，即，令，则，故.故答案为：4【变式3】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线经过两点，直线，关于直线：对称．(1)求直线的方程；(2)直线上是否存在点P，使点P到点的距离等于到直线l：的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在符合条件的点P，其坐标为或．【分析】（1）求出方程，根据，的对称性求得的方程；（2）根据条件求出点P的轨迹方程，与联立求得P的坐标.【详解】（1）直线的斜率，则直线的方程为，即．设点为直线上任意一点，则点关于：的对称点在直线上，即，所以直线的方程为．（2）假设存在符合条件的点P，使点P到点的距离等于到直线：的距离．设点，则，所以点P在的图象上．又因为点P在直线上，由解得或，所以存在符合条件的点P，其坐标为或．题型10：与抛物线有关的轨迹问题【例题10】（22-23高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程.【详解】抛物线的焦点为，设点、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，所以，，设线段的中点为，则，，则，所以，，化简可得.因此，线段的中点的轨迹方程为.故选：D.【变式1】（22-23高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得可得直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程.【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：，则，设，则，所以，故或，当时，在直线上，故舍去，所以，所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.故选：B.【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是．【答案】【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用数量积可得，进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析.【详解】由题意可得，设，显然直线的斜率存在，则可设为，联立可得，消去可得，则，可得，，则，因为，，由可得，由，解得.此时抛物线，即，可得，可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为，联立方程，消去y得，可得，解得，则切线方程为，即，同理可得在点处的切线方程为，联立方程，解得，即交点坐标为，可知所求轨迹方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，．(1)求值；(2)求证：是直角；(3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果；（2）由题设有，且，进而得到，即可证结论；（3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程.【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有，所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则.（2）如下图示，由题意易知，则，，又，则，，综上，，，即，而，即，所以，得证.（3）由题意，由（1）知：，，所以，故，所以轨迹为.易错点1：忽略斜率不存在或二次项系数为零的情况致错【例题1】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】联立与，分与两种情况，结合根的判别式得到或，从而求出答案.【详解】联立与得，，当时，，只有一个根，满足要求，当时，令，解得，故直线与抛物线有唯一公共点”时，或，故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A【变式1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有条．【答案】3【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切.【详解】由题意知，直线的斜率存在.设直线斜率为，则切线方程为，联立消x得，当时，此时，与抛物线有唯一公共点；当时，由，解得，即过M点的切线有两条．综上可知，满足条件的直线有3条．故答案为：3.【变式2】（23-24高二上·江西上饶·期中）已知直线经过点，且与抛物线有唯一的公共点，求直线的方程.【答案】或或【分析】先说明斜率不存在时满足题意，直线斜率存在时，设方程为，与抛物线联立，分和两种情况求解即可.【详解】当直线斜率不存在时，方程为，明显与抛物线有唯一的公共点，满足；当直线斜率存在时，设方程为，联立，消去得，当时，，，满足与抛物线有唯一的公共点，当时，，解得，此时直线与抛物线相切于一个点，所以直线的方程为或或.【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？【答案】条【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解；【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，当时，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条．易错点2：涉及直线与抛物线相交问题时，忽视判别式△＞0这一隐含条件致错【例题2】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（

）A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】由，得，易得，设，则，.故选：B.【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（

）A． B．5 C． D．4【答案】B【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值.【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行，设直线的方程为，由，消去并化简得，，解得，设Ax1则，，所以.故选：B【变式2】（24-25高二上·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么.【答案】/【分析】联立抛物线和直线方程，得到，再由等差中项的性质得到，结合抛物线的定义可得，结合可得到满足的方程，求解即得结果.【详解】设Ax1,联立，整理得：，由，得，由韦达定理，得，由，2，成等差数列，可得，由抛物线的定义得，所以，故，解得或（舍）.故答案为：.【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．(1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设Ax1,y1,B（2）设直线方程为，联立方程组，将转化为，求解直线的方程即可.【详解】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设Ax设直线的方程为，因为，则，因此点到直线的距离为，联立则，显然，所以，则，所以，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，所以的取值范围为．（2）设直线方程为，即，联立得，故即,又，易知，因为，则，因为，所以，即，解得或，故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或．一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解.【详解】由题得直线，设Ax1,y1,令，则，所以，由，则，解得．故D正确.故选：D.2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得.【详解】依题意F1,0，设直线的方程为，由，得，所以，所以，解得，所以直线的斜率为．故选：B.3．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可.【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，，直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，，，故C正确．故选:C．4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值.【详解】将代入中得，，解得，故，设，由题意得，其中，，故，即，故，即，设直线的方程为，联立抛物线方程得，，则，故，解得，所以直线的方程为，恒过定点，故点A到直线BC的距离最大值.为取等号，，因为，以，满足,故选：C5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值.【详解】设的中点，抛物线的准线为，如图，作，垂足分别为.由直角梯形的性质可得，取抛物线焦点为，由抛物线定义可得，当且仅当直线经过点时取等号，所以线段中点的横坐标的最小值为．故选：B.6．（21-22高二上·陕西西安·期中）已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解.【详解】由得焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去y得，设，则，因为，所以，即，即，解得，所以直线方程为：，故选：A7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可.【详解】如图，直线l：中，令，可得，令，可得，所以，，由抛物线C：y2=2px所以，所以，解得.故选：A8．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】先通过抛物线的定义得到，由，利用点差法得到，通过线段AB的中点，得到AB的斜率，又因为，从而得到及AB.【详解】抛物线的焦点为，直线过焦点，设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点，因为线段AB的中点为，所以，作差后可以得到，即可以得到，则由抛物线定义，得故选：C二、多选题9．（22-23高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（

）A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条【答案】CD【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项.【详解】作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则.当在原点时，最小为1，A错误；易知抛物线关于轴对称，B错误；，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确.点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确.故选：CD.10．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的面积为C．若，则D．若，的中点在的准线上的投影为，则【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程，联立直线的方程，求出交点坐标即可判断A；求出点的纵坐标计算判断；设出点，的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式判断D．【详解】解：抛物线方程为：，抛物线的焦点，准线，设，，则，，，A．设，联立，可得，，，①，，与①联立，可得，或，，或，故选项A正确；B．，，，的面积，选项B错误；C．，，显然，，，，当且仅当时取等号，选项C正确；D．设点的横坐标为，，，在中，，由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，选项正确．故选：ACD．11．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（

）A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点）【答案】BC【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项.【详解】若，则直线与抛物线y2=2px不合乎题意，则，设直线的方程为，联立可得，，对于A选项，不一定是定值，A错；对于B选项，设线段的中点为Px0,y为定值，故线段的中点在定直线上，B对；对于C选项，为定值，C对；对于D选项，不一定为定值，D错.故选：BC.三、填空题12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，焦点为，若过点的直线（斜率大于0）与抛物线、轴及准线的交点从上至下依次为，且，其中为准线与轴交点，则抛物线的方程为．【答案】【分析】设直线方程为，联立方程组，可得，结合，解得，再由，可解，从而得解.【详解】易得，设直线方程为且m>0，令，则，联立得，即，则，则，由可得，，化简得，解得．令，则，又，即，解得，所以抛物线方程为．故答案为：13．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解.【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上，因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点，即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为，联立，化简得，，由，即，因式分解为：，解得，又因为，所以实数的取值范围是