《第六章幂函数、指数函数和对数函数-核心素养梳理》章末复习

2/2《第六章幂函数、指数函数和对数函数》章末复习知识网络建构核心素养梳理本单元主要涉及数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模、逻辑推理等核心素养.1.数学抽象核心素养主要体现在得出幂函数、指数函数、对数函数的概念.幂函数与指数函数在形式上比较接近，二者的区别在于变量的位置，幂函数变量在底数位置，指数函数变量在指数位置；对数函数可以从对数函数与指数函数互为反函数的角度，通过指数函数认识对数函数.此外幂函数、指数函数和对数函数与幂、指数和对数型函数易混淆，幂、指数和对数型函数是指由幂函数、指数函数和对数函数经过四则运算或者复合而构成的函数，需要准确把握定义，才可突破这一难点.2.数学运算核心素养主要体现在指数、对数函数性质应用中，会用到前面学习过的指数、对数的运算性质，指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.3.直观想象核心素养反映在幂函数、指数函数和对数函数的图象及其应用中，学生要熟练掌握幂函数、指数函数和对数函数图象.并且会画函数图象需掌握函数图象的以下画法：画法应用范围画法技巧基本函数法基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的有关知识，画出特殊点（线），直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本函数的关系，恰当地选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线4.数学建模核心素养反应在幂函数、指数函数和对数函数的实际应用问题，需掌握步骤和原则：（1）建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：①对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用分别表示；②建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域；③求解函数模型，并还原为实际问题的解.（2）建模的三个原则：①简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.②可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.③反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.5.逻辑推理核心素养主要反应在利用函数性质比较大小及解不等式问题.需要利用函数的性质，进行合理的推理论证，得出结果.具体的方法技巧有：（1）数（式）的大小比较及常用的方法.比较两数（式）或几个数（式）大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用常用的方法有单调性法、图象法、中间量法、作差法、作商法等.（2）数的大小比较常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.例1、对于实数a和b，定义运算，则式子的值为_________解析，由定义.答案9素养解读本例体现了数学抽象和数学运算核心素养.本题求解的关键是将定义的抽象运算理解清楚，实际上定义运算的本质是将较小的数加1后与另一数做乘积，因此式子的值需要知道两个因式的大小，根据指、对数运算可知小于，从而可以顺利求值.例2、已知指数函数，对数函数和幂函数的图象都过，如果，那么_________.解析设，代入得，解得..又..答案2素养解读本例体现了数学运算核心素养，求解的关键是熟练掌握指对幂函数的定义和运算.例3、已知函数则__________.解析由题意得.答案素养解读本例体现了数学运算的核心素养.通过函数求值将对数、指数运算融合在一起，需要学生有较强的运算能力，熟悉指数、对数运算的公式.例4、函数的图象大致是（）A.B.C.D.解析方法一：当时，，故可排除选项A；由，得，即函数的定义域为，排除选项B；又易知函数在其定义域上是减函数，故选C.方法二：函数的图象可认为是由的图象经过如下步骤变换得到的：（1）函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；（2）把函数的图象关于y轴对称得到函数的图象；（3）把函数的图象向右平移1个单位，即可得到的图象，故选C.答案C素养解读本例体现了直观想象和逻辑推理的核心素养.1.识别函数的图象可以从以下几个方面入手：（1）单调性：函数图象的变化趋势；（2）奇偶性：函数图象的对称性；（3）特殊点对应的函数值.2.指数函数与对数函数图象经过定点的实质是.例5、在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（）A.B.C.D.解析幂函数的图象不过点，故A错；B项中由对数函数的图象知，而此时幂函数的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；C项中由对数函数的图象知，而此时幂函数的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错；D对.答案D素养解读本例体现了直观想象的核心素养.例6、某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物已知该动物的数量y（只）与引人时间x（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为（）A.300B.400C.600D.700解析将代入中，可得，解得，则.所以当时，.答案A素养解读本例体现了数学建模和数学运算核心素养.读懂题意，选择合适的函数模型，转化为数学问题求解，是解决此类问题的通法.例7、某化工厂每一天中污水污染指数与时刻x（时）的函数关系为，其中a为污水治理调节参数，且.（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？解析（1）求一天中哪个时刻污水污染指数最低实际就是求函数的最小值；（2）通过解不等式求出参数a应控制在什么范围内.答案（1）因为，则.当时，，得，即.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.（2）设，则当时，.则，则显然在上是减函数，在上是增函数，则，，因为，则有解得.又.故调节参数a应控制在内.素养解读本例体现了数学建模和数学运算核心素养.例8、设，则（）A.B.C.D.解析因为，所以.因为，所以，即，所以.答案C