中考数学复习专题4圆的综合课件

专题四圆的综合例1：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的☉O经过点C，连接AC、OD交于点E.类型1切线综合(1)证明：AE＝CE；证明：如图①，连接OC.∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO，∴∠AOD＝∠COD.∵OA＝OC，∴AE＝CE.(2)若AC＝2BC；①证明：DA是☉O的切线；1①证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OA＝OC，AE＝CE，∴OE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵AE＝CE，∴AC＝2AE.∵AC＝2BC，∴BC＝AE.又∵AB＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△DEA，∴∠ABC＝∠DAE.∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠OAD＝∠BAC＋∠DAE＝90°，∴OA⊥AD.又∵OA是☉O的半径，∴DA是☉O的切线.②如图②，连接BD交☉O于点F，连接EF，则∠DEF＝________°.[2024厦门二模改编]45

1.如图，AB是☉O的直径，弦CD与直径AB相交于点F，直线AE是☉O的切线，点E在☉O外.(1)求证：∠EAC＝∠D；证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵直线AE是☉O的切线，

∴∠BAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，∴∠B＝∠CAE.∵∠D＝∠B，∴∠EAC＝∠D.

类型2圆内接三角形、四边形综合几何画板视频

(2)求证：△AEB∽△BEC；

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∴∠AEB＝∠AEO＋∠MEB＝135°，∠BEC＝180°－∠MEB＝135°，∴∠AEB＝∠BEC.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠MBE＝45°，∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∴△AEB∽△BEC.(3)求证：AD与EF互相平分.[2024福建14分]

∴△AOE∽△BDE，∴∠BED＝∠AEO＝90°.∴∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE.由(2)知，∠AEB＝135°，∴∠AEF＝180°－∠AEB＝45°.∵∠DFB＝∠DAB＝45°，∴∠DFB＝∠AEF，∴AE∥FD，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AD与EF互相平分.

DE3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF.(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；

解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC.∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD，∴∠CFD＝∠CAD.又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF.又∵AC⊥BD，∴AC是线段BF的垂直平分线，∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10.设AE＝x，则CE＝10－x，由勾股定理知AB2－AE2＝BC2－CE2，∴100－x2＝80－(10－x)2，解得x＝6，∴AE＝6，CE＝4，∴易得BE＝8.∵∠ECD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，

例3：如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A'，AA'的延长线交BC于点G.类型3隐形圆问题几何画板视频(1)求证：DE∥A'F；证明：如图，设AG与DE的交点为O.∵点A关于DE的对称点为A'，∴AO＝A'O，AA'⊥DE.∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA'F的中位线，∴EO∥A'F，即DE∥A'F.(2)求∠GA'B的大小；解：如图，连接GF.∵AA'⊥DE，四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.

(3)求证：A'C＝2A'B.[2021福建12分]

1.利用圆的定义(平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合)构造隐形圆.2.折叠问题中经常用到隐形圆，考虑方向：某一边翻折时，此边长度不变，轨迹为圆.

3.定弦定角：∠APB，AB为定值→P点轨迹为圆弧.常见特殊图形：4.如图，在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，点A在EB边上，且CA＝BE.以AC为斜边作Rt△DAC，使得B、D两点在直线AC的异侧，且∠DAC＝∠E，AD与EC交于点F.(1)求证：∠DCF＝∠ACB；证明：∵∠EBC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°，∠E＋∠ECB＝90°.∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF＋∠ECA＝∠ACB＋∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB.(2)求证：CF＝AD；