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文档简介
安徽师范大学附中2025届高考数学考前最后一卷预测卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.2.已知全集,集合,则()A. B. C. D.3.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则()A.P1•P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P24.已知集合,则集合真子集的个数为()A.3 B.4 C.7 D.85.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.6.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()A. B. C. D.7.函数的图象大致是()A. B.C. D.8.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.10.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是().A. B. C. D.11.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.已知向量,,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是______.14.已知点是抛物线上动点,是抛物线的焦点,点的坐标为,则的最小值为______________.15.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭;令上方六尺:问亭方几何?”大致意思是:有一个四棱锥下底边长为二丈,高三丈;现从上面截取一段,使之成为正四棱台状方亭,且四棱台的上底边长为六尺,则该正四棱台的高为________尺,体积是_______立方尺(注:1丈=10尺).16.已知点为双曲线的右焦点,两点在双曲线上,且关于原点对称,若,设,且,则该双曲线的焦距的取值范围是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)若函数,讨论的单调性与极值;(3)证明:.18.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.(1)证明:轴;(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.19.(12分)己知圆F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圆F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)证明:圆F1与圆F1有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;(1)已知点Q(m,0)(m<0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k1,是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.20.(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.(ⅰ)求面积最大值;(ⅱ)证明:直线与斜率之积为定值.21.(12分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.22.(10分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.2、D【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【详解】,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.3、C【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出,找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为:123、132、213、231、312、321方案一坐车可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐车可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法,常用列举法得到各种情况下基本事件的个数,属于基础题.4、C【解析】
解出集合,再由含有个元素的集合,其真子集的个数为个可得答案.【详解】解:由,得所以集合的真子集个数为个.故选:C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用,含有个元素的集合,其真子集的个数为个,属于基础题.5、B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.6、C【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数,再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况,由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有:种,3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有:,共种,所以目标事件的概率.故选:C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合,涉及到背景文化知识,难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析;当情况数较多时,可考虑用排列数、组合数去计算.7、B【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.8、A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.9、A【解析】
由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.10、B【解析】
求出在的解析式,作出函数图象,数形结合即可得到答案.【详解】当时,,,,又,所以至少小于7,此时,令,得,解得或,结合图象,故.故选:B.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.11、B【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.12、A【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
用树状图法列举出所有情况,得出甲不输的结果数,再计算即得.【详解】由题得,甲、乙两人玩一次该游戏,共有9种情况,其中甲不输有6种可能,故概率为.故答案为:【点睛】本题考查随机事件的概率,是基础题.14、【解析】
过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当和抛物线相切时,的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标,从而求得的最小值.【详解】解:由题意可得,抛物线的焦点,准线方程为,过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当最小时,的值最小.设切点,由的导数为,则的斜率为,求得,可得,,,.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的定义,性质的简单应用,直线的斜率公式,导数的几何意义,属于中档题.15、213892【解析】
根据题意画出图形,利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高,再计算它的体积.【详解】如图所示:正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱台ABCD-A'B'C'D',且上底边长为A'B'=6尺,所以,解得,所以该正四棱台的体积是,故答案为:21;3892.【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题,也考查了棱台的体积计算问题,属于中档题.16、【解析】
设双曲线的左焦点为,连接,由于.所以四边形为矩形,故,由双曲线定义可得,再求的值域即可.【详解】如图,设双曲线的左焦点为,连接,由于.所以四边形为矩形,故.在中,由双曲线的定义可得,.故答案为:【点睛】本题考查双曲线定义及其性质,涉及到求余弦型函数的值域,考查学生的运算能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值;(3)见解析.【解析】
(1)切点既在切线上又在曲线上得一方程,再根据斜率等于该点的导数再列一方程,解方程组即可;(2)先对求导数,根据导数判断和求解即可.(3)把证明转化为证明,然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解:(1)函数的定义域为由已知得,则,解得.(2)由题意得,则.当时,,所以单调递减,当时,,所以单调递增,所以,单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值.(3)要证成立,只需证成立.令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,所以的极大值为,即由(2)知,时,,且的最小值点与的最大值点不同,所以,即.所以,.【点睛】知识方面,考查建立方程组求未知数,利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明;能力方面,考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;试题难度大.18、(1)见解析(2)直线过定点.【解析】
(1)设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,设出点坐标并代入切线的方程,同理将点坐标代入切线的方程,利用韦达定理求得线段中点的横坐标,由此判断出轴.(2)求得点的纵坐标,由此求得点坐标,求得直线的斜率,由此求得直线的方程,化简后可得直线过定点.【详解】(1)设切点,,,∴切线的斜率为,切线:,设,则有,化简得,同理可的.∴,是方程的两根,∴,,,∴轴.(2)∵,∴.∵,∴直线:,即,∴直线过定点.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19、(1)见解析,(1)存在,【解析】
(1)求出圆和圆的圆心和半径,通过圆F1与圆F1有公共点求出的范围,从而根据可得点的轨迹,进而求出方程;(1)过点且斜率为的直线方程为,设,,联立直线方程和椭圆方程,根据韦达定理以及,,可得,根据其为定值,则有,进而可得结果.【详解】(1)因为,,所以,因为圆的半径为,圆的半径为,又因为,所以,即,所以圆与圆有公共点,设公共点为,因此,所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆,所以,,,即轨迹的方程为;(1)过点且斜率为的直线方程为,设,由消去得到,则,,①因为,,所以,将①式代入整理得因为,所以当时,即时,.即存在实数使得.【点睛】本题考查椭圆定理求椭圆方程,考查椭圆中的定值问题,灵活应用韦达定理进行计算是关键,并且观察出取定值的条件也很重要,考查了学生分析能力和计算能力,是中档题.20、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析.【解析】
(1)由,解方程组即可得到答案;(2)(ⅰ)设,,则,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)设直线斜率为,直线方程为,联立椭圆方程得到的坐标,再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】(1)设,由,得.将代入,得,即,由,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)设,,则,(ⅰ)易知为的中位线,所以,所以,又满足,所以,得,故,当且仅当,即,时取等号,所以面积最大值为.(ⅱ)记直线斜率为,则直线斜率为,所以直线方程为.由,得,由韦达定理得,所以,代入直线方程,得,于是,直线斜率,所以直线与斜率之积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及到椭圆中的最值及定值问题,在解椭圆与直线的位置关系的答题时,一般会用到根与系数的关系,
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