广东省惠州市2025届高考数学必刷试卷含解析

广东省惠州市2025届高考数学必刷试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A． B． C． D．2．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或73．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A． B．C． D．5．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．86．设集合，，则（）A． B．C． D．7．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（）A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个8．已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．9．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．1110．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．12．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是______.14．设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为______.15．已知变量(m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．16．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.18．（12分）过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.（1）求抛物线C的方程；（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.19．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，求的大小.20．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．21．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项的和.22．（10分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：当时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.2、C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.3、D【解析】

设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.5、C【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.6、A【解析】

解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.7、B【解析】

圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．【详解】因为点在抛物线上，又焦点，，由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．8、B【解析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.9、B【解析】

根据题意计算，，，解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.∴.∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.10、C【解析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.11、A【解析】

先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率【详解】解：抛物线经过点，，，，故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.12、B【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=714、1【解析】

根据为定义在上的偶函数，得，再根据当时，（为常数）求解.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为当时，，所以，所以实数的值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15、【解析】

在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，设f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键16、1【解析】

该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得：，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时满足条件，退出循环，输出的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面积.18、；【解析】

根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合,即可求出抛物线C的方程；设，的中点为，把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出的取值范围,利用韦达定理求出,进而求出的中垂线方程,即可求得在轴上的截距的表达式,然后根据的取值范围求解即可.【详解】由题意可知,直线l的方程为,与抛物线方程方程联立可得,,设,由韦达定理可得,,因为,,所以,解得,所以抛物线C的方程为;设,的中点为,由,消去可得,所以判别式,解得或,由韦达定理可得,,所以的中垂线方程为,令则,因为或,所以即为所求.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力;属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合转化即可求解；（Ⅱ）可设，由，再由余弦定理解得，对中，由余弦定理有，通过勾股定理逆定理可得，进而得解【详解】（Ⅰ）由正弦定理得.而.由以上两式得，即.由于，所以，又由于，得.（Ⅱ）设，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题20、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，（3）由（2）得到时，，，求得，再代入证明。【详解】（1）解：令可得，即．所以．时，可得，当时，所以．显然当时，满足上式．所以．，所以数列是等差数列，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，恰为与的等比中项，所以，解得，所以（3）时，，，而时，，，所以当时，.当时，，∴对任意，都有，【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，21、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；（2）求出，用裂项相消法求和．【详解】解：（1）设等比数列的公比为又因为，所以解得（舍）或所以，即（2）据（1）求解知，，所以所以【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．22、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可