2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.5向量的线性运算学案含解析新人教B版必修第二册

6.1.5向量的线性运算学习目标1.会利用公式进行向量的混合运算;2.了解平面对量的线性运算.自主预习自主预习平面对量混合运算以及线性运算.课堂探究一、体系构建结构完善进一步完善向量混合运算以及平面对量线性运算的概念.二、题型分类典例精讲题型一向量的加法与数乘向量的混合运算例1如下图所示,探讨3a+3b与3(a+b)之间的关系.变式训练1化简:5a+b+2(a+b).题型二向量的线性运算例2如图所示,已知AD=23AB,AE=23AC,求证:变式训练2如图,平行四边形ABCD中,点M在AB的延长线上,且BM=12AB,点N在BC上,且BN=13BC,求证:M,N,D核心素养专练(一)基础过关1.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且OA,OB,OC,OD满意等式OA+OC=OB+OD,则四边形ABCD是()A.平行四边形 B.菱形C.梯形 D.等腰梯形2.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则肯定共线的三点是()A.B,C,D B.A,B,CC.A,B,D D.A,C,D3.(多选题)设e1,e2是两个不共线的向量,关于向量a,b共线的有()A.a=2e1,b=-2e1B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2C.a=4e1-25e2,b=e1-110D.a=e1+e2,b=2e1-2e24.已知A,B,P三点共线,O为平面内任一点,若OP=λOA+2OB,则实数λ的值为.

5.两个非零向量a,b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.6.如图所示,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD至M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN.求证:M,A,N三点共线.(二)实力提升1.已知△ABC和点M满意MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m的值为()A.2 B.3 C.4 D.52.如图所示,平行四边形ABCD,E在边AB上,且BE=14BA,F为对角线BD上的点,且BF=15BD,则(A.E,F,C三点共线,且EF=1B.E,F,C三点共线,且EF=1C.E,F,C三点共线,且EF=1D.E,F,C三点不共线3.如图所示,在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=.(用a,b表示)

4.如图,已知在▱ABCD中,M为AB的中点,N在BD上,3BN=BD.求证:M,N,C三点共线.5.如图,设G为△ABC的重心,过G的直线l分别交AB,AC于P,Q,若AP=mAB,AQ=nAC,求证:1m+1n=(三)探究探讨设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC参考答案自主预习略课堂探究一、略二、题型分类典例精讲例1解:在题图中,DE=3a,EF=3b,DF=3a+3b.留意到∠DEF=∠ABC,|DE|=3|AB|,|EF|=3|BC|.所以△DEF∽△ABC.因此DF∥AC,且|DF|=3|AC|,从而有DF=3(a+b),即3a+3b=3(a+b).变式训练1解:原式=5a+b+2a+2b=5a+2a+b+2b=(5+2)a+(1+2)b=7a+3b.例2证明:由已知得DE=AE-AD=23AC-23AB=23(AC-变式训练2证明:设AB=a,AD=b,则BC=AD=b.∵BN=13BC=13b,BM=12∴MN=BN-BM=13b-12又MD=AD-AM=b-32a=313b-∴向量MN与MD共线.又M是向量MN与MD的公共点,故M,N,D三点共线.核心素养专练(一)基础过关:1.A2.C3.ABC4.-15.(1)证明:∵AD=AB+BC+CD=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6AB,∴A,B,D三点共线.(2)解:∵ka+b与2a+kb共线,∴ka+b=λ(2a+kb).∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,∴k-2λ=06.证明:在△AMC中,D为MC的中点,易得2AD=AM+AC.∵D为AB中点,∴AB=2AD,∴AB=AM+AC,∴AM=AB-AC=CB.同理,得AN=BC.∴AM=-AN.∴A,M,N三点共线.(二)实力提升1.B2.B3.14(b-a4.证明:设AB=a,AD=b,则BD=BA+AD=-a+b,BN=13BD=-13a+MB=12a,BC=AD=b∴MC=MB+BC=12MN=MB+BN=12a-13a+=1312a+b∴MN∥MC,又M为公共点.∴M,N,C三点共线.5.证明:设AB=a,AC=b,∵AP=mAB,AQ=nAC,∴AP=ma,AQ=nb.∵G为△ABC的重心,连接AG并延长交BC于D,则AD为△ABC一边BC边上的中线,如图.∴AD=12(a+b∴AG=23AD=13∴PG=AG-AP=13(a+b)-ma=13-mGQ=AQ-AG=nb-13(a+b=-13a+n又PG与GQ共线,∴PG=λGQ,∴13-m=-13λa+λn-∴13-mm+n=3mn,即1m+1n=(三)探究探讨A学习目标1.通过实例,驾驭平面对量的加法与数乘向量的混合运算,发展学生的数学运算素养.2.初步运用向量的线性运算法则解决简洁的几何问题,提升学生的逻辑推理素养.自主预习任务一:向量的加法与数乘向量的线性运算.创设情境问题一:(1)6a,2a,8a它们分别与a的关系是什么?(2)2a+6a有没有意义?(3)2a+6a与8a之间的关系是什么?(4)λa+μa,(λ+μ)a之间有关系吗?(5)你能证明以上结论吗?创设情境问题二:(1)能做出3a+3b和3(a+b)吗?(2)它们之间是什么关系?(3)λ(a+b),λa+λb之间的关系是什么?给出你的证明.(4)要点归纳:λa→+μa→=,λ(a→+b→例1化简5a+b-2(a-b).创设情境问题三:【线性运算】阅读课本第148页回答以下问题.(1)向量线性运算的定义是什么?(2)代数的运算依次是什么?向量线性运算的依次是什么?它们之间有联系吗?(3)向量线性运算依次:

例2化简下列各式.(1)2(a+b)-2(a-b);(2)-(a+b-c)+2(a-b+c);(3)2a-13×3b+12×4(4)(λ+μ)(a-b)+(λ-μ)(a+b).课堂探究任务二:向量在几何中的应用例3已知AD=23AB,AE=23AC,求证:变式训练1:已知x=a+b,y=-2a-2b,求证x与y共线.例4已知M为线段AB的中点,且O为随意一点,求证:OM=12(OA+OB)例5已知OM=12(OA+OB),求证:M为线段AB的中点例6已知A,B,C是三个不同的点,OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,求证:A,B,C三点共线.变式训练2:已知3OA=OB+2OC,求证A,B,C三点共线.课堂练习1.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则肯定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D2.点P是△ABC所在平面内一点,若CB=λPA+PB,其中λ∈R,则点P肯定在()A.△ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上3.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=.

核心素养专练1.如图,在△ABC中,点D为BC的中点,E,F分别为AC,BA的中点,AD,BE,CF相交于点O,(1)AD+BE+CF=;

(2)OA+OB+OC=.

2.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,能使a,b共线的是()A.2a-3b=4e,且a+2b=-3eB.存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0C.xa+yb=0(实数x,y满意x+y=0)D.已知在梯形ABCD中,AB=a,CD=b3.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形态为.

4.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.参考答案自主预习略课堂探究例3证明:由已知得DE=AE-AD=23(AC-AB)=2变式训练1:证明:因为y=-2(a+b)=-2x,所以x,y共线.例4证明:由M为线段AB的中点可知AM=MB,因此OM-OA=OB-OM,从而有2OM=OA+OB,即OM=12(OA+OB)例5证明:由OM=12(OA+OB),可知2OM=OA+OB,因此OM-OA=OB-OM,从而有AM=MB,即M为线段AB的中点例6证明:因为BA=OA-OB=-a+2b,CA=OA-OC=-2a+4b=2(-a+2b)=2BA,又CA,CB有公共点C,所以A,B,C三点共线.变式训练2:证明:因为3OA=OB+2OC,所以3OA-OB-2OC=0.所以OA-OB+2(OA-OC)=0,即B