§3完整版本.1-微分中值定理

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第三章微分中值定理与导数的应用

因为导数是函数随自变量变化的瞬时变

所以可借助导数来研究函数.

但每一点,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(MeanValueTheorem)化率,21.Rolle定理2.Lagrange中值定理4.小结思考题3.Chauchy中值定理§3.1微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用3定义极大值(或极小值),

函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.函数的极值与最大值最大值一、Fermat引理1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为4函数的极值与最大值最大值

函数的极大值、极小值

是局部性的.

在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的5Fermat引理如果函数可导,处取得极值,那么.0)(0=¢xf6费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的Fermat大定理:Fermat大定理1994年得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.微分中值定理7Rolle定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得如,二、罗尔(Rolle)定理微分中值定理8(1)定理条件不全具备,注微分中值定理结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(Î=xxxf9例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在-微分中值定理10注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba11拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.微分中值定理12几何解释:证分析:弦AB方程为微分中值定理13作辅助函数Lagrange中值公式微分中值定理14它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数微分中值定理15例1证

如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记利用微分中值定理,得微分中值定理16Lagrange公式可以写成下面的各种形式:

它表达了函数增量和某点的但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.微分中值定理注：17推论证有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,Lagrange中值定理(1)(2)使得;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba18例2证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,0)(º¢xf微分中值定理19例3证由上式得设由

关键

满足拉氏定理的条件,微分中值定理20柯西Cauchy(法)1789-1859(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理21柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,微分中值定理22罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理

罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广

这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能23例4证

零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)

存在性微分中值定理24(2)

唯一性满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!25例5.

设且在内可导,证明至少存在一点使微分中值定理26例6.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.微分中值定理27微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfafι==例728例8微分中值定理29例9微分中值定理)()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba¢¢=--Î$使得30试证至少存在一点使例9),,1(eÎx.lncos1sinx=31练习

分析微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf32四、小结微分中值定理

常利用逆向思维,构造辅助函数注意利用Lagrange中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系;

证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.运用罗尔定理.Lagrange中值定理的各种形式,其关系;331.

微分中值定理的条件、结论及关系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数Fermat引理微分中值定理34思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足Lagrange定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程微分中值定理354.思考:

在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x

的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用Lagrange中值定理得上对函数微分中值定理36思考题微分中值定理37备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足Rolle定理条件,即设辅助函数使得微分中值定理38写在最后成功的基础在于好的学习习惯Thefoundationofsuccessliesi