2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第3课时习题课-正弦定理和余弦定理的综合应用习题含解析新人教A版必修第二册

第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(+1)∶2,则最大角为()A.45° B.60° C.75° D.90°解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以,解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.答案C2.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是()A. B.C. D.解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sinC=sinA.∵A∈(0,π),∴0<sinA≤1,∴sinC∈.结合函数y=sinx的图象可得C∈.∵a>c,∴角C是锐角,∴C∈.故选D.答案D3.在△ABC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sin,则△ABC周长的最大值为()A.8 B.7 C.6 D.5解析由题得a·sinC=c·cos,∴sinA·sinC=sinC·cos,∴sinA=cos,∴2sincos=cos,∵,∴cos≠0,∴sin,∴A=.由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·,当且仅当b=c=2时取等号.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.答案C4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=(2c-b)cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.解(1)由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC≠0,∴cosA=.∵A∈(0,π),∴A=.(2)由(1)知S△ABC=bcsinA=bc,由余弦定理得cosA=(当且仅当b=c时等号成立),∴0<bc≤36(当且仅当b=c时等号成立).∴S△ABC的最大值为×36=9.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值;(2)若=2,且b=2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=.(2)由=2,得accosB=2.由(1)知cosB=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.实力提升练1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则取值范围是.

解析∵△ABC中,a2=b2+bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+bc=b2+c2-2bccosA,整理,得c=b(1+2cosA),∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),∴,∵A∈(60°,90°),∴cosA∈,可得2+2cosA∈(2,3),∴∈(),即∈().答案()2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=,则△ABC周长的最小值为.

解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.故cosA=,∴A=.由三角形面积公式得bcsinA=,bc=2.所以三角形的周长a+b+c==3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.故周长的最小值为3.答案33.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=0.(1)求角C;(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.解(1)由a=0,得a,即sinC,由余弦定理,得cosC=sinC,∴tanC=.∵C∈(0,π),∴C=.(2)由余弦定理,得b2=1+-2×1×·cos∠CEA,①a2=1+-2×1×·cos∠CEB,②①+②,得b2+a2=2+,即2(b2+a2)=4+c2,∵c2=a2+b2-2ab·cosC,∴a2+b2=4-ab≥2ab,∴ab≤,当且仅当a=b时取等号.S△ABC=absinC≤.△ABC的面积的最大值是.素养培优练在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满意cosC+cosAcosB=2sinAcosB.(1)求cosB的值;(2)若a+c=2,求b的取值范围.解(1)因为cosC+cosAcosB=2sinAcosB,所以-cos(A+B)+cosAcosB=2sinAcosB,即sinAsinB=2sinAcosB,因为sinA≠0,所以sinB=2cosB>0,又因为sin2B+cos