2025版高中数学第3章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时线性规划的应用课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第3课时线性规划的应用A级基础巩固一、选择题1．(2024·浙江文，4)若平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0,2x－y－3≤0,x－2y＋3≥0))夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)A．eq\f(3\r(5),5) B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2) D．eq\r(5)[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0,2x－y－3≤0,x－2y＋3≥0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,2)、B(2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝eq\r(2)，即两条平行直线间的距离的最小值是eq\r(2)，故选B．2．(2024·浙江卷，3)若实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,3x－y－4≤0，,x＋y≥0，))则z＝3x＋2y的最大值是(C)A．－1 B．1C．10 D．12[解析]如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－eq\f(3,2)x并平移，知当直线y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产安排为(B)A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱[解析]设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤70，,10x＋6y≤480，,x∈N，,y∈N.))甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．4．某公司有60万元资金，安排投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的eq\f(2,3)倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(B)A．36万元 B．31.2万元C．30.4万元 D．24万元[解析]设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5，))z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示：由图形知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．5．(2024·浙江卷，4)若x、y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,x＋y－3≥0,x－2y≤0))，则z＝x＋2y的取值范围是(D)A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4，所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D．6．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(D)甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元 B．16万元C．17万元 D．18万元[解析]设生产甲x吨、乙y吨，则有目标函数z＝3x＋4y，依题意得约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))易知最优解为(2,3)，代入目标函数可得z的最大值为18.故选D．二、填空题7．若x、y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x－y≤0,x＋y－4≤0))，则eq\f(y,x)的最大值为__3__.[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，eq\f(y,x)是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故eq\f(y,x)的最大值为3.8．已知x、y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0,x≤3,x＋y＋k≥0))，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝__0__.[解析]由条件作出可行域如图．依据图形知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.三、解答题9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g．已知每天原料的运用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？[解析]设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤120,4x＋11y≤400,4x＋6y≤240,x≥0,y≥0))，作出可行域如图所示．目标函数为：z＝2x＋y.(x∈N，y∈N)作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运输180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天来回的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天来回的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．[解析]设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8,y≤4,x＋y≤10,4x×6＋3y×10≥180,x≥0,y≥0))，目标函数为z＝320x＋504y(其中x、y∈N)．作出可行域如图所示．由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．B级素养提升一、选择题1．若变量x、y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,y－x≤1,x≤1))，则z＝2x－y的最小值为(A)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由约束条件作出可行域，然后依据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,y－x≤1,x≤1))，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,y－x＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))，∴A(0,1)，∴z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1，故选A．2．设实数x，y满意3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是(B)A．24 B．27C．42 D．72[解析]令xy2＝X，(eq\f(x2,y))2＝Y，则z＝eq\f(x3,y4)＝eq\f(Y,X).问题转化为：已知实数X，Y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≤X≤8，,16≤Y≤81，))求z＝eq\f(Y,X)的最大值．作出可行域(图略)，z＝eq\f(Y,X)＝eq\f(Y－0,X－0)表示可行域内的点P(X，Y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，即求斜率的最大值．当点P(X，Y)位于点(3,81)时，斜率最大，为eq\f(81－0,3－0)＝27.所以zmax＝27，即eq\f(x3,y4)的最大值是27.故选B．3．已知实数x、y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－y≥0,x＋y－4≤0,y≥m))，若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为(C)A．4 B．3C．2 D．－eq\f(1,2)[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－y≥0,x＋y－4≤0,y≥m))表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－y＝0,y＝m))得A(m－1，m)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0,y＝m))得B(4－m，m)，所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝10－4m＝2，解得m＝2.故选C．4．已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x，y)的坐标x，y满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1.))若当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))时，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))取得最大值，则a的取值范围是(D)A．(0，eq\f(1,3)) B．(eq\f(1,3)，＋∞)C．(0，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，＋∞)[解析]作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1))所表示的可行域如图，由目标函数eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(a,1)·(x，y)＝ax＋y所表示的斜率为－a的平行直线系仅过点A(3,0)时，取得最大值可得－a<kAB＝－eq\f(1,2)，解得a>eq\f(1,2).故选D．二、填空题5．若x、y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0,2x－y－1≥0,x－2y＋1≤0))，则z＝2x＋y的最大值为__8__.[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0,2x－y－1≥0,x－2y＋1≤0))表示的可行域是以A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)为顶点的三角形区域，z＝2x＋y的最大值必在顶点C处取得，即x＝3，y＝2时，zmax＝8.6．福建武夷山市南岩茶叶精制厂用茶叶由甲车间加工出红茶，由乙车间加工出绿茶．甲车间加工一箱茶叶需耗费工时10h，可加工出7kg红茶，每千克红茶获利40元；乙车间加工一箱茶叶耗费工时6h，可加工出4kg绿茶，每千克绿茶获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱茶叶的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480h，甲、乙两车间每天总获利最大值为__15200__元．[解析]设甲车间加工茶叶x箱，乙车间加工茶叶y箱，甲、乙两车间每天总获利为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N,y∈N,x＋y≤70,10x＋6y≤480))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N,y∈N,x＋y≤70,5x＋3y≤240)).目标函数z＝280x＋200y，x、y∈N，作出可行域，即如图(阴影部分)所示中的整数点．当z＝280x＋200y对应的直线过直线x＋y＝70与5x＋3y＝240的交点时，目标函数z＝280x＋200y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝70,5x＋3y＝240))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15,y＝55)).故zmax＝280×15＋200×55＝15200(元)，即甲、乙两车间每天总获利最大值为15200元．三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g，已知每天原料的运用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g．假如甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的运用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析]经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤3600,4x＋5y≤2000,3x＋10y≤3000,x，y∈N))，利润z＝0.7x＋1.2y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－eq\f(9,4)<－eq\f(8,10)<－eq\f(7,12)<－eq\f(3,10)，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．8．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/t和1.6元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析]设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.x、y应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,200－x≥0,260－y≥0,x＋y≤280,200－x＋260－y≤360))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤200,0≤y≤260,100