2024-2025学年高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版必修2

PAGEPAGE12．1．2平面直角坐标系中的基本公式1．了解两点间距离的概念．2．理解坐标法的意义．3．驾驭两点间的距离公式及中点公式并会应用．1．两点间的距离公式(1)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离表示为d(A，B)＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．①当AB平行于x轴时，d(A，B)＝|x2－x1|；②当AB平行于y轴时，d(A，B)＝|y2－y1|；③当B点是原点时，d(A，B)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)算术平方根eq\r((x－a)2＋(y－b)2)的几何意义是表示两点A(x，y)，B(a，b)的距离．2．中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)．3．坐标法把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析探讨解决问题的方法．用坐标法解决几何问题的基本步骤如下：(1)建立坐标系；(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系；(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来演算．1．已知M(－2，1)，N(4，－5)，则线段MN中点P的坐标为()A．(－1，2) B．(1，2)C．(1，－2) D．(－1，－2)解析：选C．设点P的坐标为(x，y)，则x＝eq\f(－2＋4,2)＝1，y＝eq\f(1－5,2)＝－2．2．算术平方根eq\r(a2＋b2)的几何意义是什么？解：点(a，b)到原点的距离．两点间的距离若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，求点M的坐标．【解】设点M的坐标为(x，0)，由题意知|x|＝eq\r((x－5)2＋(0＋3)2)，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3．4，故所求点M的坐标为(3．4，0)．若将例题中的“x轴上的点M”改为“坐标轴上的点M”，求点M的坐标．解：当点M在x轴上时，由例题知其坐标为M(3．4，0)．当点M在y轴上时，设其坐标为M(0，y)．由题意知eq\r((0－5)2＋(y＋3)2)＝|y|，所以y＝－eq\f(17,3)．综上，所求点M的坐标为(3．4，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(17,3)))．eq\a\vs4\al()本题是平面上两点间距离公式和数轴上两点间距离公式的综合应用，其中数轴上两点间的距离是平面上两点间距离的特别情形，解题的关键是依据题意及距离公式列出方程．已知A(1，－2)，B(2，3)，则d(A，B)＝()A．eq\r(2) B．eq\r(34)C．eq\r(24) D．eq\r(26)解析：选D．d(A，B)＝eq\r((2－1)2＋(3＋2)2)＝eq\r(26)．中点公式的应用在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，且A(－4，0)，B(2，－2)，E(2，eq\f(1,2))，求顶点C的坐标．【解】因为D为AB的中点，且A(－4，0)，B(2，－2)，由中点坐标公式得点D的坐标为(－1，－1)，设点C的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)＝2，,\f(y－1,2)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))所以点C的坐标为(5，2)．若本例中已知条件不变，又如何求中线CD的长度？解：由例题解析知C(5，2)，D(－1，－1)，所以d(C，D)＝eq\r((5＋1)2＋(2＋1)2)＝3eq\r(5)．eq\a\vs4\al()本题主要考查了中点公式的敏捷应用，若已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))．已知平行四边形三个顶点坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求平行四边形第四个顶点的坐标．解：设A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，第四个顶点的坐标为D(x，y)，(1)若四边形ABCD是平行四边形，则由中点坐标公式得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝\f(－1＋0,2),\f(y＋1,2)＝\f(－2＋2,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－1))，所以点D坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC是平行四边形，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)＝\f(3＋0,2),\f(y－2,2)＝\f(1＋2,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝5))，所以点D坐标为(4，5)．(3)若四边形ACBD是平行四边形，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)＝\f(－1＋3,2),\f(y＋2,2)＝\f(－2＋1,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－3))，所以点D坐标为(2，－3)．综上所述，第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．坐标法证明几何问题已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：2AM＝BC．【证明】如图建立直角坐标系，设B，C的坐标分别是(b，0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，故点M的坐标为(eq\f(b,2)，eq\f(c,2))．由两点间距离公式，得d(B，C)＝eq\r(b2＋c2)，d(A，M)＝eq\r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq\f(\r(b2＋c2),2)．所以2d(A，M)＝d(B，C)．所以2|AM|＝|BC|，即2AM＝BC．eq\a\vs4\al()建立直角坐标系时，要利用图形特点，建立适当的坐标系，以避开困难的运算．已知AO是△ABC中BC边上的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．证明：以BC所在直线为x轴，过A作BC的垂线为y轴，建立直角坐标系(图略)，设B(b，0)，C(c，0)，A(0，a)，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)，0))．因为|AB|2＋|AC|2＝(a－0)2＋(0－b)2＋(a－0)2＋(0－c)2＝2a2＋b2＋c2，2(|AO|2＋|OC|2)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)－0))\s\up12(2)＋(0－a)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(b＋c,2)))\s\up12(2)))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))\s\up12(2)＋a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－c,2)))\s\up12(2)))＝2a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上随意两个已知点间的距离；反过来，已知两点间的距离也可以依据条件求其中一个点的坐标．2．利用中点坐标公式求点的坐标是解析几何中常用的基本方法，首先应熟记中点坐标公式的结构特点，然后依据题意，明确应用哪两点的坐标，列出方程或方程组求解．3．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依靠于平面直角坐标系的建立而变更的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必需“避繁就简”．用坐标法探讨几何问题时，要建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，建系时尽可能将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，然后利用中点坐标公式或其他条件，表示出其余点的坐标，要留意坐标的正确性．1．已知线段AB的中点为坐标原点且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于()A．5 B．－1C．1 D．－5解析：选D．由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5．2．若A(a，－eq\r(ab))，B(b，eq\r(ab))，则d(A，B)等于()A．|a－b| B．|a＋b|C．|eq\r(a)＋eq\r(b)| D．|eq\r(a)－eq\r(b)|解析：选B．d(A，B)＝eq\r((b－a)2＋(\r(ab)＋\r(ab))2)＝eq\r((a＋b)2)＝|a＋b|．3．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1，2)，则d(P，Q)＝．解析：由题意知，P点的坐标为(－2，0)，Q点的坐标为(0，4)，d(P，Q)＝eq\r((0＋2)2＋(4－0)2)＝2eq\r(5)．答案：2eq\r(5)4．已知A(1，2)，B(－3，b)两点的距离等于4eq\r(2)，则b＝．解析：由两点间距离公式eq\r((1＋3)2＋(2－b)2)＝4eq\r(2)，得b＝6或b＝－2．答案：6或－2[学生用书P107(单独成册)])[A基础达标]1．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4 B．－4或2C．－2 D．－2或4解析：选D．由两点间距离公式得eq\r((a－1)2＋(6－2)2)＝5．解得a＝－2或a＝4．2．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．4 B．eq\r(13)C．eq\r(15) D．eq\r(17)解析：选D．由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2),y＝\f(5－3,2)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝1))，d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是()A．(4，－3) B．(1，4)C．(－4，－2) D．(－2，－2)解析：选C．设C(x，y)，则eq\f(2＋8＋x,3)＝2，所以x＝－4．eq\f(3＋(－4)＋y,3)＝－1，所以y＝－2，故选C．4．若点P与x轴及点A(－4，2)的距离都是10，则点P的坐标是()A．(2，10)或(－10，10)B．(2，10)C．(－10，10)D．(10，2)或(10，－10)解析：选A．设P点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r((x＋4)2＋(y－2)2)＝10，,|y|＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－10,y＝10))．所以点P的坐标为(2，10)或(－10，10)．5．若△ABC三个顶点坐标A(－2，2)，B(3，2)，C(4，0)，则AC边的中线BD长为．解析：由中点坐标公式得AC的中点D(1，1)，再由两点间距离公式得|BD|＝eq\r((1－3)2＋(1－2)2)＝eq\r(5)．答案：eq\r(5)6．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(eq\r(3)，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形态是．解析：因为|AB|＝eq\r((\r(3)－0)2＋(2－1)2)＝2，|AC|＝eq\r((\r(3)－0)2＋(2－3)2)＝2，|BC|＝eq\r((0－0)2＋(1－3)2)＝2，所以|AB|＝|AC|＝|BC|．所以△ABC为等边三角形．答案：等边三角形7．已知矩形相邻两个顶点是A(－1，3)，B(－2，4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标．解：设对角线交点为P(x，0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5，0)．所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．8．求函数y＝eq\r(x2＋x＋1)－eq\r(x2－x＋1)的值域．解：明显函数的定义域为R，y＝eq\r((x＋\f(1,2))2＋\f(3,4))－eq\r((x－\f(1,2))2＋\f(3,4))．设P(x，0)，A(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))为平面上三点，则|PA|＝eq\r((x－\f(1,2))2＋\f(3,4))＝eq\r(x2－x＋1)，|PB|＝eq\r((x＋\f(1,2))2＋\f(3,4))＝eq\r(x2＋x＋1)．y＝|PB|－|PA|．因为||PB|－|PA||<|AB|且|AB|＝1，所以|y|<1，即－1<y<1，故函数的值域为(－1，1)．[B实力提升]9．已知点A(2，0)，B(4，2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为()A．(1，1) B．(1，1)或(5，－1)C．(1，1)或(3，1) D．多数多个解析：选D．设C(x，y)，则eq\r((4－2)2＋(2－0)2)＝2eq\r((x－2)2＋(y－0)2)，即(x－2)2＋y2＝2．所以存在多数多个C点．10．已知点A(－eq\r(3)，a)，B(0，1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值为．解析：|AB|＝eq\r((－\r(3)－0)2＋(a－1)2)＝eq\r((a－1)2＋3)≥eq\r(3)．所以|AB|min＝eq\r(3