广东省茂名市龙岭教育共同体2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省茂名市龙岭教育共同体八年级（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，173．（3分）在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（）A．0.2 B． C．﹣1 D．4．（3分）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．35．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（3分）估算的值在（）A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间7．（3分）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（）A．y＝60x B．y＝3x C．y＝0.05x D．y＝0.05x+608．（3分）点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．﹣19．（3分）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A．4.5π B．9π C．36 D．18π10．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47 B．62 C．79 D．98二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）实数的算术平方根是．12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（3分）若点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为．14．（3分）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的方向的m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．（7分）计算：（1）；（2）．17．（7分）先化简，后求值：，其中.．18．（7分）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函数；（2）是正比例函数．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，﹣2），C（5，3）．（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出坐标：C1（，）；（2）在y轴上找一点P，使PA+PC的最小，并标出P点的位置．（3）计算△A1B1C1的面积．20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M（a+1，2a﹣4）．根据下列条件回答问题：（1）当点M在x轴，y轴上时，分别求出点M的坐标；（2）当点M在第四象限的角平分线上时，求a的值；（3）若经过点M，N（b+1，4）的直线与x轴平行，且MN＝5，求点M，N的坐标．21．（9分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，，c是的整数部分．（1）求m﹣n的立方根．（2）判断△ABC的形状．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）动手操作：（1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合；探究与发现：（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？23．（14分）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．

2024-2025学年广东省茂名市龙岭教育共同体八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．【解答】解：A.的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D.＝|a|，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17【分析】利用勾股数定义进行分析即可．【解答】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；D、82+152＝172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．3．（3分）在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（）A．0.2 B． C．﹣1 D．【分析】按照无理数的定义逐个来判定即可．【解答】解：A、0.2属于有理数，故A不符合题意；B、＝3，为有理数，故B不符合题意；C、﹣1为有理数，故C不符合题意；D、为开不尽方根，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了无理数的定义，无理数是指①无限不循环小数；②开不尽的方根，牢牢掌握无理数的定义是解题关键．4．（3分）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵+（y+1）2＝0，而，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．5．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．【解答】解：∵﹣3＜0，2＞0，∴点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．故选：B．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．6．（3分）估算的值在（）A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间【分析】应先化简求值，再看所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．【解答】解：∵＝，而2＜＜3，∴的值在2和3之间．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．7．（3分）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（）A．y＝60x B．y＝3x C．y＝0.05x D．y＝0.05x+60【分析】根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间，根据等量关系列出函数关系式．【解答】解：由题意得：y＝60×0.05x＝3x，故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8．（3分）点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．﹣1【分析】根据x轴上的点纵坐标为零可得a+1＝0，再解即可．【解答】解：∵点P（a﹣2，a+1）在x轴上，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．9．（3分）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A．4.5π B．9π C．36 D．18π【分析】由正方形的性质得EF2＝64，DE2＝100，再由勾股定理求出DF的长，然后由圆的面积公式计算即可．【解答】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，∴EF2＝64，DE2＝100，在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF＝＝＝6，∴半圆C的半径为3，∴半圆C的面积＝•π•32＝4.5π，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质以及圆面积公式等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．10．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47 B．62 C．79 D．98【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）实数的算术平方根是．【分析】直接根据算术平方根的意义进行解答．【解答】解：∵＝3，且3的算术平方根为．∴实数的算术平方根是．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根意义，解答本题的关键是明确，求的算术平方根．实际上是求3的算术平方根．12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≤．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，3﹣4x≥0，解得，x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．13．（3分）若点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为1．【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．【解答】解：∵点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，∴m+1﹣2m＝0，解得：m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．14．（3分）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的南偏西60°方向的500m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）【分析】根据方向角的定义解答即可．【解答】解：∵小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，∴小明在小刚的南偏西60°方向的500m处．故答案为：南偏西60°，500．【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记．15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝20．【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．（7分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则计算乘除，再把所得二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；（2）先把二次根式化简，再利用绝对值的性质、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质计算乘方，最后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式、二次根式的乘除法则、绝对值的性质、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质．17．（7分）先化简，后求值：，其中.．【分析】先算平方差，完全平方，再进行加减运算，最后把相应的值代入运算即可．【解答】解：＝＝，当时，原式＝8﹣2＝8﹣2＝6．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18．（7分）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函数；（2）是正比例函数．【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；（2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答．【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，∴m≠3，所以，m＝﹣3时是一次函数；（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，∴m≠3，n＝2，所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数．【点评】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），一次函数的一般形式是y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，﹣2），C（5，3）．（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出坐标：C1（﹣5，3）；（2）在y轴上找一点P，使PA+PC的最小，并标出P点的位置．（3）计算△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）连接AC1，与y轴交点即为P点；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1的坐标是（﹣5，3），故答案为：﹣5，3；（2）点C关于y轴的对称点C1，连接AC1交y轴于点P，连接PC，此时PA+PC的值最小．（3）△A1B1C1的面积＝．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，准确画出图形是解题的关键．20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M（a+1，2a﹣4）．根据下列条件回答问题：（1）当点M在x轴，y轴上时，分别求出点M的坐标；（2）当点M在第四象限的角平分线上时，求a的值；（3）若经过点M，N（b+1，4）的直线与x轴平行，且MN＝5，求点M，N的坐标．【分析】（1）根据x轴，y轴上点坐标特征，分别列出关于a的方程，求得a的值，即可得答案；（2）根据第四象限的角平分线上点坐标的特征列出关于a的方程，即可解得答案；（3）根据直角坐标系中平行于x轴的直线上的点坐标特征，列出关于a的方程可得M的坐标，由MN＝5可得N的坐标．【解答】解：（1）若M（a+1，2a﹣4）在x轴上，则2a﹣4＝0，∴a＝2，∴M（3，0），若M（a+1，2a﹣4）在y轴上，则a+1＝0，∴a＝﹣1，∴M（0，﹣6），∴M在x轴上，M的坐标是（3，0）；M在y轴上，M的坐标是（0，﹣6）；（2）∵M（a+1，2a﹣4）在第四象限的角平分线上，∴（a+1）+（2a﹣4）＝0，解得a＝1，∴a的值为1；（3）∵经过点M（a+1，2a﹣4），N（b+1，4）的直线与x轴平行，∴2a﹣4＝4，解得a＝4，∴M（5，4），∵MN＝5，∴|b+1﹣5|＝5，解得b＝9或b＝﹣1，∴N（10，4）或N（0，4）．【点评】本题考查直角坐标系中的点坐标，解题的关键是掌握直角坐标系中点坐标的特征．21．（9分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，，c是的整数部分．（1）求m﹣n的立方根．（2）判断△ABC的形状．【分析】（1）先根据两个平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据二次根式有意义的条件列出关于n的方程，求出n，然后求出m﹣n的立方根即可；（2）根据（1）中所求的n，求出b，再估算的大小，求出整数部分c和a的值，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：（1）∵a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，∴2m﹣4+1﹣m＝0，m﹣3＝0，∴m＝3，∵，∴n﹣2＝2﹣n＝0，∴n＝2，∵m﹣n＝3﹣2＝1，∴m﹣n的立方根是1；（2）∵，n＝2，∴b＝3，∵，即，∴的整数部分c＝5，由（1）可知：m＝3，∴a＝（2m﹣4）2＝（2×3﹣4）2＝4，∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题主要考查了估算无理数、平方根、立方根和勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握求平方根、立方根，正确估算无理数的整数部分和小数部分．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）动手操作：（1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A′重合，点B与点B′重合；探究与发现：（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？【分析】（1）根据对称性即可推出答案；（2）最短距离可以转化为两条直角边分别为30cm，40cm的直角三角形的斜边即可；（3）用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处时，剖面图即为A'C为A'B'的，求出4AC即可．【解答】解：动手操作：把矩形AA'B'B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A'重合，点B与点B'重合，故答案为：A'，B'；（1）如图所示，连接AB'，这条丝线的最小长度即为AB'的长，由勾股定理得：AB'＝＝＝50（cm），即这条丝线的最小长度是50cm；（2）若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，如图所示：在Rt△AA'C中，AA'＝30cm，A'C＝＝10（cm），∴AC＝＝＝10（cm），4×10＝40（cm）．答：至少需要多少丝线40cm．【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，几何体的平面展开图，本题重点理