2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期期中考试数学试题1.设全集U=R，集合A=x|x<2，B=x|x<1，则集合∁UA.−∞,2 B.2,+∞

C.1,2 D.−∞,12.函数f(x)=x−1x是(

)A.奇函数，且值域为(0,+∞) B.奇函数，且值域为R

C.偶函数，且值域为(0,+∞) D.偶函数，且值域为R3.已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β，下列四个命题中正确的为(

)A.若m//α,n//α，则m//n B.若l//m,m⊂α，则l//α

C.若l//α,l//β，则α//β D.若l//α,l⊥β，则α⊥β4.已知函数fx=sin2x−A.函数fx的图象关于5π12,0中心对称 B.函数fx的图象关于直线x=−π8对称

C.函数fx在区间−π,π内有4个零点5.已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是A.x2−1>0 B.x+1x<−2 6.设向量a→,b→满足a→=b→A.52 B.32 C.7.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线A.−12 B.1 C.2 8.设an为等比数列，则“对于任意的m∈N∗,am+2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为25，设茶水温度从85开始，经过x分钟后的温度为y．y与x的函数关系式近似表示为y=60×0.923x+25，那么在好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感(参考数据：ln0.923≈−0.08,lnA.8 B.7 C.6 D.510.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点(点A.存在点P，使得平面A1DP//平面B1CD1

B.存在点P，使得AC1⊥平面A1DP

C.S1,S2分别是△A11.若直线l1:ax+2y=8与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a=12.在x+2x26的展开式中，常数项为

.(13.在等差数列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，则a1=

；使得数列{an}前14.在矩形ABCD中，若AB=1，BE=13BC，且AB⋅AE=AD⋅AE，则15.颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为η=Cout−CinCout×100%，其中Cout表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量(单位：ind./L)，Cin表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量(单位：ind./L).某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点Aij的横坐标表示第i种口罩第j次测试时该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是

．16.设函数fx=ax+1,x<0,2x−a+2a−x,x≥0.给出下列四个结论：①对∀a>0，∃t∈R，使得fx=t无解；②对∀t>0，∃a∈R，使得fx=t有两解；③当a<0时，∀t>0，使得f17.在▵ABC中，c=2，C=30∘，在从条件①、条件②、条件③(1)a的值；(2)▵ABC的面积．条件①：2b=条件②：A=45条件③：b=2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面ABC所成角的正弦值．19.近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位：万公里)将这些汽车分为4组：5,6,6,7，7,8(I)求a的值；(Ⅱ)该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0.若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ20.已知函数f(x)=e(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=3，f(x)的图象与y轴交于点A，求y=f(x)在点A处的切线方程；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>x221.已知函数fx=2(1)若曲线y=fx在点0,f0处的切线的斜率为(ⅰ)求a的值；(ⅱ)证明：函数fx在区间0,π(2)当a≤1时，证明：对任意x∈0,π，fx22.已知数列an是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=k(1)分别判断下列数列an是否具有性质Ψ2；(①a②a(2)若数列an满足an+1≥ann=1,2,3,⋯，求证：“数列(3)已知数列an中a1=1，且an+1>ann=1,2,3,⋯.参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.C

9.B

10.C

11.1

12.60

13.9；5

14.3；215.②④

16.③④

17.(1)(1)选择条件①，2b=3a，由于C=所以cosC=a2选择条件②，A=45∘，由于C=30由正弦定理csinC=选择条件③，b=23，由正弦定理csin此时B=60∘或(2)选择条件①，2b=3a，由a=4，则b=2故▵ABC为直角三角形，所以S选择条件②，A=45∘，在▵ABC中，所以S▵ABC

18.证明：(Ⅰ)在△VAB中，M，N分别为VA，VB的中点，所以MN为中位线．所以MN//AB．又因为AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，所以AB//平面CMN(Ⅱ)在等腰直角三角形△VAC中，AC=CV，所以VC⊥AC．因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC=AC，VC⊂平面VAC，所以VC⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC，所以AB⊥VC．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，VC⊥平面ABC，直线VB与平面ABC所成角为∠VBC，因为▵ABC是等腰直角三角形，AC=2，所以AB=BC=所以VB=所以sin

19.(I)由题意可知：1×0.1+0.2+0.4+a=1，所以(Ⅱ)4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在7,8这一组的无人驾驶汽车有10×4则行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有10×3有题意可知：X的所有可能取值为0,1,2PX=0PX=1PX=2所以X的分布列为X

0

1

2

P

274717所以X的数学期望为EX(Ⅲ)这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故μ1，μ因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2所以μ0

20.解：(Ⅰ)f′(x)=e当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，当a>0时，令f′(x)=0，解得x=ln当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,ln(f′(x)–0+f(x)减极小值增所以a>0时，f(x)在−∞,lna上单调递减，在综上所述，a≤0时，fx单调增区间为Ra>0时，fx单调增区间为lna,+∞，单调减区间为(Ⅱ)a=3时，f令x=0，得y=1，则A0,1因为f′x=e所以在A点处的切线方程为y−1=−2(x−0)，即y=−2x+1．(Ⅲ)证明：令gx则g′x令ℎx=e当0<x<ln2时，ℎ′x当x>ln2时，ℎ′x所以ℎx即g′x>0恒成立所以gx在−∞,+∞所以gx所以ex即当x>0时，fx

21.(1)(ⅰ)因为fx所以f′x因为曲线y=fx在点0,f0处的切线的斜率为所以f′0=1，即1−a=1，故经检验，符合题意.

(ⅱ)由(ⅰ)可知fx=2sin设gx=f′x令g′x=0，又x∈0,π当x∈0,π2时，g′x>0﹔所以gx在0,π2又g0=1，gπ因此，当x∈0,π2时，g此时fx在区间0,当x∈π2,π时，gx=0有唯一解x且易知当x∈π2,x0时，f′故此时fx在区间π2,π综上可知，函数fx在区间0,π(2)因为f′x=cosx+xsin令ℎ′x=0，又x∈0,π且当x∈0,π2时，ℎ′x>0﹔所以f′x在0,π2当a≤1时，f′0=1−a≥0，f′π(i)当f′π=−1−a≥0，即a≤−1时，此时函数fx在0,π内单调递增，(ii)当f′π=−1−a<0，即因为f′0=1−a≥0，所以，在0,π2内f′x≥0恒成立，而在区间π2,π内f′x有且只有一个零点，记为x又因为f0=0，fπ由(i)(ii)可知，当a≤1时，对任意x∈0,π，总有f

22.(1)①an=1，对于n∈N∗，a②an=2n故a2n−1+a2n≠2a(2)证明：先证“充分性”：当数列{an}具有“性质ψ又因为an+1所以0≤a进而有a结合an+1≥a即“数