2024-2025学年上海市长宁区高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市长宁区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“x=4”是“x≥3”成立的(    )条件．A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要2.要得到函数y=sin(2x+π3)的图象，只需将函数A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位 C.向右平移π3个单位 D.3.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog2(1+SN)，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．

当SN=99，W=2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当SA.1 B.52 C.154 4.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C(含端点)上的一动点，则：

①OE⊥BD1；

②OE//面A1C1D；

③A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={1,4}，B={a−5,7}.若A∩B={4}，则实数a的值是______．6.函数y=x27.设复数z=3−i，则复数i⋅z在复平面内对应的点的坐标是______．8.双曲线x29−9.已知OA=a，OB=b，|OA|=1，|OB|=110.在(x+2x)5的二项展开式中，x3的系数是______(11.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=12.已知不等式m≤|x−5|+|x−3|对一切恒成立，则实数m的取值范围为______．13.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，则lg4+lga+(11000)314.已知tan(α+β)=4，tan(α−β)=−3，则tan2β=______．15.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x3+2x+a16.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1，a3，a三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在△ABC中，3acosB=bsinA．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)若b=2，c=2a，求△ABC18.(本小题14分)

设f(x)=x3−12x2−2x+5

(1)求函数f(x)的单调递增，递减区间；19.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=220.(本小题18分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)的定义域为D，导函数为y=f′(x)，若对任意的x∈D，均有f(x)<f′(x)，则称函数y=f(x)为D上的“M一类函数”．

(1)试判断f(x)=sinx是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=ax+a−1，x∈(0,π)为其定义域上的“M一类函数”，求实数a的取值范围．

(3)已知函数ℎ(x)=sinx+ax+a−2,x∈[0,π2]为其定义域上的“M一类函数”，求实数a的最大整数值．参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.9

6.(−∞,−2]∪[3,+∞)

7.(1,3)

8.y=±49.1

10.10

11.5

12.(−∞,2]

13.111014.−715.−19

16.1012

17.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，

因为3acosB=bsinA，

所以3sinAcosB=sinBsinA，

因为sinA≠0，

所以3cosB=sinB，

所以tanB=3，

因为0<B<π，

所以B=π3，

(Ⅱ)因为b=2，c=2a，由余弦定理b2=a2+c18.解：(1)f′(x)=3x2−x−2，令f′(x)=0，解得x=1或−23，

令f′(x)>0，解得x∈(−∞,−23)，(1,+∞)，

令f′(x)<0，解得x∈(−23,1)，

f(x)的单调递增为(−∞,−23)，(1,+∞)，递减区间为(−23,1)．

(2))∵f(−1)=512，f(−23)=52227，f(1)=3119.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AC．

又D，E分别为AC，A1C1的中点，则DE/​/AA1，

所以AC⊥DE，

因为AB=BC，D为AC中点，所以AC⊥BD，

又BD∩DE=D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE．

(2)由(1)知AC⊥DE，AC⊥BD，DE/​/AA1．

又AA1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC．

因为BD⊂平面ABC，所以DE⊥BD，

所以DA，DB，DE两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系D−xyz，

则E(0,0,2)，D(0,0,0)，B(0,2,0)，A(1,0,0)，

所以DE=(0,0,2),AB=(−1,2,0),AE=(−1,0,2)，

设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AB=0,m⋅AE=0,即−x+2y=0,20.解：(Ⅰ)由题意得，

b=12c=23，∴b=1，c=3，a=2，

∴椭圆E的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)设过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立得y−1=k(x+2)x24+y21=1，即(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0，

∵直线与椭圆相交，∴Δ=[(16k221.解：(1)函数f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”．

理由如下：

f(x)=sinx的定义域为R，f′(x)=cosx，存在x=π3，使得f(π3)>f′(π3)，

故f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”

(2)g(x)=ax+a−1，所以g′(x)=a．

若函数g(x)=ax+a−1在x∈(0,π)上为“M一类函数”，

则ax+a−1<a在x∈(0,π)上恒成立，

即a<1x在x∈(0,π)上恒成立．

因为y=1x在x∈(0,π)上的值域为(1π,+∞)，

所以a≤1π，

所以实数a的取值范围为(−∞,1π]；

(3)ℎ′(x)=cosx+a，

依题意有sinx+ax+a−2<cosx+a对作意的x∈[0,π2]恒成立，

即ax<2+cosx−sinx对任意的x∈[0,π2]恒成立，

当x=0时，a⋅0<3，即a∈R；

当x∈(0,π2]