2023-2024学年福建省莆田四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省莆田四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若3C2n3=5AA.7 B.9 C.8 D.102.已知数列{an}满足an+1=11−A.2 B.−2 C.−1 D.13.一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球为X，则下列算式中等于C221C4A.P(0<X≤2) B.P(X≤1) C.P(X=1) D.P(X=2)4.已知随机变量X，Y满足X+Y=8，若X～B(10,0.6)，则(

)A.E(X)=6 B.E(Y)=6 C.D(X)=2.4 D.D(Y)=2.45.函数f(x)=(1+cosx)sinx在[−π,π]上的图象大致是(

)A. B.

C. D.6.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，A.1237 B.1537 C.357.已知Sn为数列{an}的前n项和，数列{an}满足：a1=1，(n−1)aA.4 B.3 C.2 D.18.当x>1时，(4k−1−lnx)x<lnx−x+3恒成立，则整数k的最大值为(

)A.−2 B.−1 C.0 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知P(A)=15，P(B|A)=14.若随机事件A，A.P(B)=13 B.P(AB)=120 C.10.给出下列命题，其中正确的命题有

(

)A.A.若(1−3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a211.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点(包含线段的端点)，点MA.当A1C=3A1P时，点A，P，D1，B1四点共面

B.异面直线AB1与MN的距离为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x13.已知数列{an}，满足a1=1，且an14.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为(3,2)的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．

(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；

(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望．16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1+a5=8，且a3是a1与a7的等比中项．

(1)求{an17.如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC且AD=4，AB=BC=CD=2，PA=PD，O是AD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面POB；

(2)若直线PA与平面ABCD所成的角为π4，求二面角B−PC−D的余弦值．18.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为13；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为23．

(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学第n(n∈N∗)天选择米饭套餐的概率为Pn．

(i)证明：{Pn19.设函数f(x)=x3+ln(x+1)．

(1)求曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程；

(2)证明：当x≥0时，x3+ln(x+1)≥x2恒成立；

参考答案1.C

2.D

3.B

4.ACD

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.ACD

11.AC

12.20

13.24

14.8081

(1349,674)15.解：(1)设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，

设事件B为“取出2个黑球”，则P(B)=C32C62=315=15，

事件C为“取出2个红球”，则P(C)=C22C62=115，

事件D为“取出1个红球1个黑球”，则P(D)=C31C21C62=25，

因为事件B，C，D互斥，且X123P182所以E(X)=1×11516.解：(1)因为{an}为等差数列，且a1+a5=8，所以a3=4，

又a3是a1与a7的等比中项，

所以a32=a1a7，

即16=(4−2d)(4+4d)，

化简得d2−d=0，

解得d=1或d=0(舍去)，

所以an=a3+(n−3)×1=n+1；

(2)由(1)知，Sn=n(n+3)2，

所以bn17.解：(1)证明：连接OC，∵PA=PD，O为AD中点，则PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO，

∵BC/​/AD，∴BC/​/AO，

由已知得BC=AO=AB=2，

∴四边形ABCO是菱形，∴AC⊥OB，

同理可证四边形BCDO为菱形，

∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB．

(2)∵PO⊥平面ABCD，则PA与平面ABCD所成角为∠PAO=π4，

∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=π2，且PO=12AD=2，

∵AO=AB=CD=BO=2，∴△ABO是等边三角形，

以O为坐标原点，在平面ABCD中过O作AD的垂线为x轴，

以OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则B(3,−1,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，BC=(0,2,0)，CP=(−3,−1,2)，

则m⋅BC=2y=0m⋅CP=−3x−y+2z=0，取x=2，得m=(2,0,3)，

18.(1)解：设Ai为第i天选择米饭套餐(i=1,2)，则Ai−为第i天选择面食套餐，

由题意得，P(A1)=23，P(A2|A1)=13，P(A2|A1−)=23，

由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=23×13+13×23=49；

(2)证明：(i)设An为第n19.解：(1)由题知x>−1，f′(x)=3x2+1x+1>0，

f′(0)=1，即切线斜率为1，故f(x)在(0,0)处的切线为y=x，

即x−