数学一本章整合学案：第一章集合

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一两个集合间的关系【应用1】若集合P＝{x｜y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2},则必有()A．P⊆Q B．PQ C．P＝Q D．QP解析：集合P是二次函数y＝x2中x的取值集合,集合Q是二次函数y＝x2的函数值y的取值集合，因此集合P＝R，集合Q＝{y｜y≥0｝，所以QP.答案：D【应用2】已知集合P＝{x｜x＝2k－1，k∈Z},Q＝{x|x＝4k－1,k∈Z｝,则（)A．P⊆Q B．QP C．P＝Q D．QP解析：方法一：当k＝0,±1，±2，±3，…时，P＝{…，－7，－5，－3，－1,1,3，5,…}，Q＝｛…，－13，－9，－5，－1,3，7,11，…},很明显，集合P是全体奇数组成的集合，集合Q是部分奇数组成的集合,则有QP.方法二：对于集合P，由于k∈Z，设k＝2n或k＝2n－1（n∈Z）,当k＝2n时,P＝{x｜x＝2(2n)－1，n∈Z}＝{x|x＝4n－1，n∈Z}＝Q,当k＝2n－1时，P＝｛x|x＝2(2n－1)－1，n∈Z}＝{x|x＝4n－3,n∈Z｝≠Q，所以QP。答案：B【应用3】已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．分析：利用集合A＝B，列出关于a，b，c的等式，再化简求解即可，注意本题需要分情况进行讨论．解：因为A＝B，所以需分两种情况讨论．①若a＋b＝ac，且a＋2b＝ac2，消去b,得a＋ac2－2ac＝0.当a＝0时,集合B中的三个元素均为零,与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1。但c＝1时，B中的三个元素又相同，故无解．②若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，消去b,得2ac2－ac－a＝0。∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1）（2c＋1）＝0.又c≠1，故c＝－。经验证c＝－符合题意．由①②可知，c＝－。专题二集合的运算【应用1】已知集合M＝{x|y＝｝,集合N＝，则M∪N等于(）A．｛x｜x≥－1｝ B．｛x|x≤－2或x≥－1｝C．{x｜x〈－2或x≥－1｝ D．{x|－2<x≤－1}解析：由题意知，M＝{x|x≥－1}，N＝{x|x<－2｝．在数轴上分别表示出集合M，N，如图所示,所以阴影部分表示的集合是M∪N，且M∪N＝{x|x〈－2或x≥－1｝．答案：C【应用2】已知全集U＝R，集合A＝｛x|0≤x－1≤2｝，B＝｛x|x〈0或x≥2}，其中表示U，A,B的关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．解析:由题意知，A＝｛x|0≤x－1≤2｝＝{x｜1≤x≤3}，∁UB＝｛x｜0≤x<2}，阴影部分表示的集合是A∩∁UB，在数轴上分别表示出集合A，∁UB，如图所示，所以A∩∁UB＝｛x|1≤x<2｝．答案：｛x｜1≤x〈2｝专题三分类讨论思想在集合中的应用在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准;②恰当分类；③逐类讨论;④归纳结论．【应用1】已知集合M和集合N中含有的元素个数相等，且M∪N＝｛a,b，c，d｝，则M的不同构成方式有(）A．3种 B．6种 C．10种 D．11种解析：因题设已知M，N中含有的元素个数相等，所以分M，N中各含两个元素、三个元素、四个元素讨论．当M，N中各含两个元素时，M有6种不同构成方式，分别为：M＝{a，b},N＝｛c，d｝；M＝{a，c｝，N＝｛b，d｝；M＝{a，d}，N＝｛b，c｝；M＝{b，c}，N＝{a,d}；M＝{c，d｝,N＝{a,b}；M＝{b，d｝，N＝｛a，c}．当M,N中各含三个元素时,M有4种不同构成方式，分别为：M＝{a,b,c｝，N＝｛a,b，d}或N＝{a，c，d}或N＝{b，c，d}；M＝｛a，b，d}，N＝{a，c,d}或N＝{a，b，c}或N＝｛b，c，d｝；M＝{a，c，d},N＝{b，c，d}或N＝{a，b,c｝或N＝{a，b，d｝;M＝｛b，c，d｝，N＝{a，b，c}或N＝{a，b，d｝或N＝{a，c,d}．当M，N中各含四个元素时，M有1种构成方式，且M＝N＝｛a，b,c，d｝．故符合条件的M共有11种不同的构成方式．答案：D【应用2】已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝。(1）若A⊆B，求实数a的取值范围;(2）若B⊆A，求实数a的取值范围；(3）A，B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由．解：（1）当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在;当a〈0时，若A⊆B，则解得所以a<－8，当a>0时，若A⊆B，则解得a≥2.综上可知，a的取值范围是a<－8或a≥2。（2)当a＝0时,显然B⊆A；当a<0时,若B⊆A，则解得所以－〈a〈0。当a>0时，若B⊆A,则解得0〈a≤2.综上可知，当B⊆A时,－<a≤2.(3）当且仅当A，B两个集合互相包含时,A＝B，由（1)(2)知，a＝2。专题四数形结合思想在集合中的应用数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，两方面相辅相成,互为补充，利用数形结合的思想来解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形联系起来,从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，在本章的学习中借助于Venn图及数轴来分析集合间的内在联系，是学好集合的重要方式，