数学学案：指数函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。1.2指数函数1．指数函数的概念(1）定义:一般地,函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。(2）理解指数函数的定义，需要注意的三个问题：①因为a＞0，且a≠1,x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.②规定底数a大于零且不等于1的理由:如果a＝0,eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉0时，ax恒等于0，,x≤0时，ax无意义；）)如果a＜0，比如y＝(－4）x，这时对于x＝eq\f（1,2)，x＝eq\f（1，4),…，在实数范围内函数值不存在；如果a＝1,y＝1x＝1，是一个常量，对它没有研究的必要．针对上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.③y＝ax是指数函数的定义式，ax的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上,并且指数一定为x.如y＝－ax，y＝2×3x，,y＝3x＋1等都不是指数函数．【例1－1】下列函数中，指数函数的个数是()①y＝3x＋1;②y＝3x；③y＝x3.A．0B．1C．2D．3答案：B【例1－2】函数y＝(a－2)2ax是指数函数,则（)A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0，且a≠1解析：由指数函数定义知所以解得a＝3。答案:C2．指数函数的图象与性质(1)根据解析式作函数图象,一般用描点法，即列出x,y的对应值表，描点、连线．利用这种方法,我们在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝10x,y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))x和y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,10)))x的图象．(2）指数函数y＝ax(a＞0，a≠1）的图象和性质．a＞10＜a＜1图象性质①定义域为R,值域为（0，＋∞）②图象都过点（0,1）③当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1③当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1④在(－∞,＋∞)上单调递增④在(－∞,＋∞）上单调递减析规律学习指数函数的图象与性质需注意的几点①当底数a大小不定时,必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情形讨论．②当0＜a＜1，x→＋∞时，y→0；当a＞1，x→－∞时，y→0.当a＞1时，a的值越大，图象随x增大时，递增速度越快，即“底大图高”；当0＜a＜1时，a的值越小,图象随x增大时，递减速度越快,即“底小图低”．(其中“x→＋∞”的意义是：“x趋向于正无穷大”)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大到小．如：当a＞b＞1＞c时，函数图象如图．③指数函数图象的平移规律若已知y＝ax的图象，则把y＝ax的图象向左平移b(b＞0）个单位长度，则得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向右平移b(b＞0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图象;把y＝ax的图象向上平移b（b＞0）个单位长度，则得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向下平移b（b＞0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图象．④指数函数图象的对称规律函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．【例2－1】函数在R上是()A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数解析:由于0＜－1＜1，所以函数y＝（－1)x在R上是减函数,f（－1)＝(－1)－1＝，f(1）＝－1，则f（－1）≠f（1)，且f(－1)≠－f(1),所以函数y＝（－1）x不具有奇偶性．答案：D【例2－2】指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图,则(）A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1,b＞1D．0＜a＜1，0＜b＜1解析:由图象知，函数y＝ax单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx单调递增，故b＞1。答案：C【例2－3】指数函数的图象如图，则分别对应于图象①②③④的a的值为（）A．B．C．D．解析：设图象①，②,③，④对应的函数分别为y＝mx,y＝nx，y＝cx，y＝dx，当x＝1时，如图易知：c1＞d1＞m1＞n1.又∵m,n，c，,∴c＝3，d＝2,，.答案：B3．用待定系数法求指数函数的解析式指数函数的解析式y＝ax中仅含有一个参数a，则只需要一个条件即可确定指数函数的解析式，这样的条件往往是已知f（m)＝n或图象过点（m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出指数函数的解析式f（x）＝ax,利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求指数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如：am＝n，这时先把n化为以m为指数的指数幂形式n＝km，则解得a＝k。还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简。【例3－1】若指数函数的图象经过点(5，125)，则该指数函数的解析式为__________．答案:y＝x3【例3－2】已知指数函数f（x）的图象经过点，试求f(－1)和f(3）．分析:设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出．解：设f（x）＝ax(a＞0，且a≠1)，∵函数f（x)的图象经过点，∴a－2＝，解得a±4。又a＞0，则a＝4,∴f(x)＝4x，∴f(－1）＝4－1＝，f（3）＝43＝64.4．指数函数的定义域、值域的应用问题(1)利用指数函数的定义域、值域求形如y＝f（ax)(a＞0，且a≠1）型的函数的定义域和值域．对于函数y＝f(ax)（a＞0，且a≠1)，由于指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1)的定义域是R，值域是（0,＋∞),则利用换元法，设ax＝t，转化为求函数f（t)，t∈（0，＋∞)的定义域和值域．（2）利用指数函数的定义域、值域求形如y＝af（x）(a＞0，且a≠1）型的函数的定义域、值域．对于函数y＝af(x）（a＞0,且a≠1)，由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1）的定义域是R，因此满足f（x）有意义的自变量x的取值范围是函数y＝af(x)（a＞0，且a≠1）的定义域．设u＝f(x),求出函数u＝f（x)的值域E，则函数y＝au(u∈E)的值域是函数y＝af(x)（a＞0，且a≠1)的值域．例如，函数，要使函数f（x）有意义，自变量x的取值只需满足eq\f（1,x)有意义，即x≠0，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞）．设eq\f（1,x）＝u，由于x∈(－∞，0)∪（0，＋∞),则u∈（－∞，0）∪（0，＋∞），则函数y＝5u的值域是(0，1）∪(1,＋∞）．【例4－1】求下列函数的定义域、值域:(1)；（2）；(3)y＝2x＋1。分析：根据使函数有意义的条件求定义域，结合指数函数的图象与性质求值域．解:(1）由x－1≠0，得x≠1，故函数的定义域为｛x|x≠1｝．由，得y≠1，故函数的值域为｛y｜y＞0，且y≠1}．(2）由5x－1≥0,得，故函数的定义域为。由，得y≥1,故函数的值域为{y|y≥1｝．(3）由表达式的特征知，函数的定义域为R。由2x＞0，得2x＋1＞1，故函数的值域为｛y｜y＞1｝．点技巧指数函数的性质对函数值域的影响求与指数函数有关的函数值域时,要充分考虑式子特点，利用指数函数本身的条件结合函数的单调性求解．【例4－2】求函数的定义域和值域．分析：定义域由函数解析式可直接得出，求其值域时，可利用换元法,转化为求二次函数的值域．规范解答顾问点评解：要使函数f（x）有意义,自变量x的取值需满足eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，4）））x和eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)x有意义即可，∴函数f(x)的定义域是R。(得分点)设eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2))）x＝t，又x∈R，则t∈(0，＋∞)，则y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t＋\f（1，2））)2＋eq\f（3，4），t∈（0，＋∞），（得分点)∴y＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0＋\f（1，2））)2＋eq\f(3，4）＝1，（得分点）即函数f(x)的值域为（1,＋∞)．（得分点)本题的求解关键是利用换元法转化为求二次函数的值域的问题.5．指数函数的图象及定点问题(1）指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论:①函数y＝ax＋b（a＞0,且a≠1)的图象，可由指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象向左（b＞0）或向右（b＜0）平移｜b|个单位长度而得到；②函数y＝ax＋b的图象，可由指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1)的图象向上(b＞0）或向下（b＜0）平移｜b|个单位长度而得到;③函数y＝a｜x｜的图象,关于y轴对称，当x≥0时,其图象与指数函数y＝ax(a＞0,且a≠1）图象相同;当x＜0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．(2)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）过定点(0，1），即对任意的a＞0，且a≠1,都有a0＝1。是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键．一般地，对于函数y＝kaf（x）＋b(k≠0），可令f（x)＝0，解方程得x＝m，则该函数的图象恒过定点（m，k＋b)．方程f(x）＝0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数．【例5－1】函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(）分析：根据条件去绝对值号,利用指数函数的图象判断．解析：由题意知,x∈R，因此函数可变形为y＝a｜x|＝因为a＞1,所以0＜＜1，因此根据指数函数的图象特点可知B正确．答案：B【例5－2】若函数f（x）＝2ax－1＋3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．解析：令x－1＝0，解得x＝1，所以f（1)＝5。所以函数f（x)＝2ax－1＋3的图象恒过定点（1,5）．答案：(1，5)6．指数函数单调性的应用(1）比较两个指数幂的大小比较两个指数幂大小的方法有以下几种：①单调法：比较同底数(是具体的数值)幂大小,构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系;最后根据指数函数的单调性判断大小．②中间量法:比较不同底数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀:“同大异小"，判断指数幂和1的大小，即对于指数幂ax，a与1比较大小，x与0比较大小，当a和x都同时“大于（小于)”时，ax大于1,否则ax小于1。③分类讨论：比较同底数（不是具体的数值）幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意:明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；分类讨论指数函数的底数与1的大小;最后根据指数函数的单调性判断大小．(2）利用指数函数单调性解决指数方程、不等式根据指数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有：①af(x)＝ag（x）f（x)＝g（x)；②当a＞1时，af(x)＞ag(x)f（x)＞g（x）；当0＜a＜1时，af(x)＞ag（x)f（x）＜g（x）．点技巧巧用指数函数的单调性利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息,构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数．【例6－1】比较下列各题中两个值的大小:（1)0.8－0.1，0.8－0.2；（2)1.70。3,0。93.1；(3）a1.3，a2。5（a＞0，且a≠1)．分析：(1）由于底数相同利用单调法比较大小；（2）由于底数和指数均不同，用中间量法比较大小；(3）对底数a分类讨论与1的大小关系．解:(1)∵0＜0.8＜1，∴指数函数y＝0。8x在R上为减函数．∴0。8－0。1＜0。8－0。2.(2)∵1.70.3＞1，0。93。1＜1,∴1。70.3＞0.93。1。(3）当a＞1时,函数y＝ax是增函数,此时a1.3＜a2.5；当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1。3＞a2.5，即当0＜a＜1时，a1。3＞a2。5；当a＞1时，a1。3＜a2.5。辨误区当底数含参数时注意分类讨论本题(3）易错解得a1。3＜a2。5,原因是忽视了对底数a要分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．【例6－2】已知(a2＋2a＋5)3x＞(a2＋2a＋5）1－x，则x的取值范围是______．分析：将不等号两边看做以a2＋2a＋5为底的指数型函数,利用函数的单调性转化为关于x的不等式求解．解析：∵a2＋2a＋5＝（a＋1）2＋4＞1,∴函数y＝(a2＋2a＋5）x在(－∞，＋∞)上是增函数,∴3x＞1－x,解得.答案：【例6－3】解方程：4x＋2x－6＝0。分析：将4x化为(2x)2，先求2x的值，再求x的值．解:原方程可化为（2x）2＋2x－6＝0，令t＝2x，则t＞0，∴原方程化为t2＋t－6＝0，即(t＋3)（t－2)＝0，∴t＝2或t＝－3。∵t＞0，∴t＝2,即2x＝2，∴x＝1。点评:解指数方程通常应用换元法转化成二次方程求解，最后注意根的取舍．7．与指数函数有关的函数单调性、奇偶性的综合问题（1）判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同，先求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时，判断f(－x）与f（x)或－f（x）是否相等；然后进行判断．若已知函数的奇偶性，也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等．(2)指数函数的单调性与底数的大小有关系,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性的定义判断或证明函数的单调性，其步骤是:(在第一章已经学习）①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0；②作差Δy＝f(x2)－f(x1)、变形、看符号．常见的变形手段是:通分、分解因式、配方、有理化等,常见的变形结果有:常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等；③归纳结论．（3)形如g（x）＝af（x)的指数型函数，对于其单调性的判断，一般用复合法,但应注意中间变量的取值范围以及定义域．如y＝4x－2×2x的单调性问题，则由y＝t2－2t及t＝2x的单调性确定．当a＞1时，函数g(x）＝af(x）与函数f（x）的单调性相同;当0＜a＜1时,函数g(x)＝af(x)与函数f(x）的单调性相异．即函数y＝af(x）(a＞0，a≠1)的单调性，可以由函数u＝f（x)与y＝au（a＞0，a≠1）按照“同增异减"的原则来确定．【例7－1】已知f(x）为定义在(－1，1）上的奇函数，当x∈（0，1)时，.（1）求f(x)在（－1，1)上的解析式;(2)判断f(x）在(0,1）上的单调性．解：（1)当x∈（－1,0）时，－x∈(0，1)，又∵f（x)是奇函数，∴f(x)＝－f（－x）＝.又∵f（－0）＝－f（0)，∴f（0)＝0.∴f（x）＝(2）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1）－f（x2)＝.又∵0＜x1＜x2＜1,∴x1＋x2＞