数学学案：知识导航：圆中比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2.3圆中比例线段自主整理1。相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的积_______________。2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积_______________.3.切割线定理:从圆外一点引圆的一条割线与一条切线,切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的_______________。高手笔记1.相交弦定理图1.2—70（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)定理的证明：如图1.2-70,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P。求证:PA·PB=PC·PD.证明：连结AC、BD，则由圆周角定理有∠B=∠C，又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB。∴PA：PD=PC：PB,即PA·PB=PC·PD.当然，连结AD、BC也能利用同样道理，证得同样结论。(3）由于在问题的证明中，⊙O的弦AB、CD是任意的，因此，PA·PB=PC·PD成立，表明“过定圆内一定点P的弦，被P点分成的两条线段长的积应为一个定值。”虽然过定点P的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点P的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值。图1.2-71如图1.2—71（1)，考察动弦AB，若AB过⊙O的圆心O，则AB为过点P的最长的弦,设⊙O的半径为R，则PA·PB=（R—OP）（R+OP）.如图1.2—71（2)，考察过点P的弦中最短的弦，AB为过⊙O内一点P的直径，CD为过点P且垂直于AB的弦,显然，由垂直定理和相交弦定理，应有PA·PB=PC·PD=（CD）2=OC2-OP2=R2—OP2。由于⊙O是定圆,P为⊙O内一定点，故⊙O的半径R与OP的长为定值.设OP=d，比较上述两式,其结论是一致的，即PA·PB=（R—d）(R+d)=R2-d2，为定值。于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P的位置有关,对圆内不同的点P，一般来说，定值是不同的,即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的.同时，由第二图可直接得到相交弦定理的推论.“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项”,即PC2=PD2=PA·PB。2.割线定理与切割线定理（1)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.图1。2-72（3）符号语言表述:如图1。2—72,PA·PB=PC·PD=PE2.（4)定理的证明：连结EC、ED，由于PE为切线，所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC，于是△PEC∽△PDE，因此有PE:PC=PD:PE，即PE2=PC·PD.同理，有PE2=PA·PB，所以PA·PB=PC·PD。(5)应注意的两点：①所有线段，都有一个公共端点P，而另一端点在圆上；②等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.名师解惑1.相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似，定理中都涉及到两条线段的积相等,那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？剖析:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理,圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分)成两线段长的积相等（至于切线可看作是两交点重合的割线）。两条线段的长的积是常数PA·PB=｜R2-d2｜,其中d为定点P到圆心O的距离.若P在圆内，d＜R，则该常数为R2—d2；若P在圆上，d=R,则该常数为0;若P在圆外,d〉R，则该常数为d2-R2。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点。在实际应用中,见圆中有两条相交弦想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.2.与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性质等若干内容，大都是综合性的问题，那么通常我们怎样证明这些比例式？在证明时有什么诀窍吗？剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合，其证法大致可分以下几种：（1）直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例。这是简单型的比例线段问题。(2）利用“等线段”代换得到，在证明“等积式”形如a2=bc时，如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段"进行代换。(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线，不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试.（4）利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试。与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少,分析综合要记牢，十有八九能见效。讲练互动【例1】从不在⊙O上的一点A作直线，交⊙O于B、C，且AB·AC=64,OA=10，则⊙O的半径等于______________。分析：点A不在⊙O上，有两种情况:（1）点A在⊙O内;(2)点A在⊙O外。解：分两种情况讨论：(1）点A在⊙O内，如图1.2-73所示，作直线OA交⊙O于E、F，设⊙O的半径为r,图1。2—73则AE=r—10，AF=r+10。由相交弦定理得（r-10）(r+10)=64。解得r1=2，r2=-2（不合题意，舍去）.∴r=2。(2)当A在⊙O的外部时，延长AO交⊙O于F,设⊙O的半径为R，由割线定理得AB·AC=AE·AF，即64=（10—R）（10+R).解得R1=6，R2=-6(不合题意，舍去）。∴R=6.综上所述,⊙O的半径为2或6。绿色通道本题主要利用圆的相交弦定理:AB·AC=AE·AF还利用圆的割线定理：AB·AC=AE·AF，分类求解。变式训练图1。2-741。如图1.2-74,⊙O的割线PAB交⊙O于点A、点B,PA=6cm，AB=8cm，PO=10cm，求⊙O的半径.解:延长PO交圆于点D，设圆的半径为R，PC=PO—R=10-R,PD=PO+R=10+R，PB=PA+AB=6+8=14（cm）.由割线定理,得PA·PB=PC·PD，∴6×14=（10—R)·（10+R）,∴R=4（cm).答:圆的半径为4cm.变式训练2。如图1.2-75，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C,连结OD，且∠AOD=∠APC。图1.2—75(1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC：CB=1：2,且AB=9，求⊙O的半径及sinA的值。分析：（1）要证AP是⊙O的切线，因AP与⊙O有公共点，所以应连OP,证OP⊥AP（即“作半径，证垂直”）.（2）运用切割定理及勾股定理可求得。解：如图,连结OP。∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°,∴∠ODC+∠COD=90°.又∵OD=OP，∴∠ODC=∠OPC，∵∠COD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=∠ODC+∠COD=90°，∴∠APO=90°,即AP⊥PO,又∵PO为⊙O的半径，P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线.(2）设OC=x，由OC:BC=1:2得：BC=2x,OE=3x，CE=4x.∵PD⊥BE，BE为直径,∴PC2=BC·CE。∴PC2=2x·4x=8x2，又∵AC=AB+BC,AB=9，∴AC2=(9+2x）2,由勾股定理，得AP2=AC2+PC2=（9+2x）2+8x2。又∵AP为⊙O的切线，直线ABE为⊙O的割线,∴AP2=AB·AE。即（9+2x）2+8x2=9×（9+6x）,解得x1=，x2=0（舍去),∴⊙O的半径为,sinA=.【例2】如图1。2-76，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.（1)求证：EF2=ED·EA;(2）若AE=6，EF=3,求AF·AC的值.图1.2-76分析：(1)要证EF2=ED·EA，只需证△AEF∽△FED。（2）由于AC·AF=AD·AE，而由（1）可求得ED,因而AD可以求出来，从而计算出AD·AE，即为AC·AF的值。（1）证明：连结CE、DF.∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1=∠3，∴∠2=∠4。∵∠AEF=∠FED,∴△AEF∽△FED.∴。∴EF2=ED·EA。(2）解：由（1）知EF2=AE·ED。∵EF=3，AE=6,∴ED=。∴AD=.∴AC·AF=AD·AE=×6=27。绿色通道当题目中涉及两个圆时，我们常常作两圆的公共弦EC,以此来沟通两个圆的联系,这也是解决本题的关键.变式训练3.如图1。2—77，已知⊙O与⊙O′外切于A,过A的直线交⊙O、⊙O′于B、C，BD切⊙O′于D交⊙O于E。求证:(1）AD平分∠EAC；(2）AD2=AE·AC。图1。2-77分析：(1）要证明AD平分∠EAC，从图形观察∠EAD，∠CAD，与其他角的关系不十分明显，此题是两圆相外切，这时可以考虑添加辅助线，作两圆的外公切线，把∠EAD分成两个角，∠EAN与∠DAN。∠EAN=∠B，可证∠NAD=∠NDA，则∠EAD=∠B+∠NDA。又∠CAD是△ABD的外角，∠CAD=∠B+∠ADB，由此证得∠CAD=∠EAD,即AD平分∠EAC.(2）要证明AD2=AE·AC，可以构造出两个三角形即△ADC和△AED，证明这两个三角形相似。证明:（1）过A点作两圆公切线MN，交BD于N,连结CD。如图,∵∠EAN=∠B,∵BD切⊙O′于D，MN切⊙O′于A，∴AN=DN，∴∠NAD=∠ADN,∵∠CAD=∠B+∠ADN，∴∠NAD+∠EAN=∠ADN+∠B,即∠DAE=∠CAD,∴AD平分∠EAC。(2）∵∠DAC=∠EAD，∠EDA=∠C,∴△AED∽△ADC,∴,∴AD2=AE·AC。【例3】如图1.2-78，已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；（2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9，求AD的长。图1。2—78分析:（1)连结AB，利用⊙O1的弦切角∠BAC过渡来证明∠D=∠E.(2）设BP=x，PE=y，利用相交弦定理和AD∥EC可以列出关于x、y的方程组,求出x、y,再用切割线定理求AD.（1)证明：连结AB.∵AC为⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D.又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。∴AD∥EC。（2)解:设PB=x,PE=y，∵AP=6，PC=2，∴xy=12.①∵AD∥EC，∴,即，∴9+x=3y.②由①②解得或(舍去)。∴DE=9+x+y=16。∵AD为⊙O2的切线,∴AD2=DB·DE=9×16.∴AD=12.绿色通道本例综合运用了弦切角定理、相交弦定理、切割线定理和