2024学年复旦大学附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年复旦大学附中高二数学上学期期中考试卷一、填空题1．若角的终边经过点，则.2．已知，则.3．已知向量，，则在方向上的数量投影为.4．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为.5．已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为.6．设，其中A＞0，，.函数，x∈R的部分图象如图所示，则该函数的表达式为.7．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为.8．已知向量，若向量、、共面，则实数等于．9．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为.

10．在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为.11．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为.

12．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为.二、单选题13．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．14．已知三条直线，，满足且，则与（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面15．设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（

）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值三、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，，求b的长.18．已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面.(1)确定点的位置，并证明你的结论；(2)求异面直线与所成角的大小.19．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.

(1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值；(2)将V表示为x的函数，并求V的最大值.20．已知四棱锥的底面为平行四边形.(1)若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由；(2)在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：；(3)设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的最小值.21．如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上.(1)证明：平面平面；(2)若二面角的正切值为，求的值；(3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值.参考答案：题号13141516答案ABBC1．【分析】根据三角函数的定义，即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，.故答案为：2．3【分析】利用诱导公式求出，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.【详解】因，所以.故答案为：3.3．【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度．【详解】在方向上的数量投影的长度为：．故答案为：．4．【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高．【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得；所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得；所以该圆锥的高为．故答案为：．5．/【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解.【详解】如图，，，，过点作，垂足为点，因为，，，所以，当点重合时，等号成立，所以，，所以的最小值为故答案为：6．【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.【详解】观察图象，得，函数的最小正周期，解得，由，得，而，则，所以函数的表达式为.故答案为：7．【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可．【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,1,，,1,，,0,，所以,1,，,1,，,0,，设平面的法向量为,,，则，令，则，所以,,，所以点到平面的距离为．故答案为：．8．10【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案.【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得．所以，所以．故答案为：9．【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答.【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为的圆柱组合而成，于是几何体的表面积，解得，所以该几何体的体积.故答案为：10．【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积．【详解】设的中点分别为，连接,,,，由题意可得，，且，所以四边形为平行四边形，因为异面直线与所成的角为，所以直线与所成的角等于，所以．故答案为：．11．【分析】使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为.利用展开图解决.【详解】其展开图如下图所示.

水管直径为2，则水管的周长为，故答案为：.12．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角.【详解】如图：在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为，因为直线照射到平面的入射角为，所以.不妨令，，将平面绕轴旋转得平面.则，可取，则反射光线的方向向量为：.因为点关于平面的对称点为，所以反射线的方向向量为：.所以.所以.故答案为：13．A【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知，其中，由周期公式可得其最小正周期为.故选：A14．B【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.15．B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合祖暅原理判断即可.【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A、B在同一高处的截面面积总相等，则A、B的体积相等，即，令是棱长为的正方体，是高为，底面积为的三棱锥，则A、B的体积都为，相等，而A、B在同一高处的截面面积不全相等，因此不能推，所以p是q的必要不充分条件.故选：B16．C【分析】取中点，连接，，证明平面，然后判断．取的中点为，连接，，说明为异面直线与所成的角．求解即可判断；连接．推出．判断，判断．推出为定值，判断正确．【详解】解：取中点，连接，．为的中点，，又为的中点，且，四边形为平行四边形，．，，平面平面，平面，与平面垂直的直线必与直线垂直，正确；取的中点为，连接，，则且，四边形是平行四边形，，为异面直线与所成的角．设，则，，，，故异面直线与所成的角为定值，正确；连接．△为等腰直角三角形且为斜边中点，．若，则平面，．又，，，，又，平面，，与已知矛盾，错误；，为三棱锥的外接球球心．又为定值，正确；故选：．【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式化简得，即可求解.（2）利用三角形面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，又，，所以.（2）因为，所以.由余弦定理可得，所以.18．(1)为线段的中点，证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置,（2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）为线段的中点，证明如下：由于相交于，四边形为正方形，故是的中点，由于平面，平面，且平面,故,由于是的中点，故为线段的中点.（2）由球的表面积公式，得球的半径，设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，连，则,，故,则在，有，即，可得正方形的边长为，侧棱．由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角，由于为等腰三角形，且,故，异面直线与所成的角为；19．(1)(2),,最大值为【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值；（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可．【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形，所以，解得，即的值为；（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为，其底面积为，所以三棱柱容器的容积为，；求导数得，令，解得或（舍去），所以时，，单调递增，时，，单调递减；所以时，取得最大值，为，所以的最大值为．20．(1)四边形为菱形，理由见解析，(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而可得，即可结合平行四边形求证，（2）利用体积公式，结合相似即可求解，（3）利用体积公式，结合等体积法即可得，进而利用向量的线性运算，根据共面定理可得，利用基本不等式即可求解最值.【详解】（1）由于平面平面故,又，平面，故平面，又平面，故,因此，结合四边形为平行四边形，故四边形为菱形，（2），其中,分别表示点到平面的距离，根据相似可得,故（3）设,故同理,由于底面为平行四边形，故，故，,,,由于共面，所以存在，使得，故，因此，化简可得，进而，因此，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，【点睛】关键点点睛：根据等体积法得，利用共面定理可得，由基本不等式求解最值.21．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，构造辅助线，转化为证明线面垂直；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，设，并分别求平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值，即可求解；（3）利用展开图，将三角形周长的最小值转化为两点间距离，即可求解.【详解】（1）由条件可知，，，，所以，所以，又因为是直角三角形，所以，取的中点，连结，则，所以，，且，所以，则，且，平面，所以平