2024-2025学年山东省名校考试联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省名校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的方程为xsin50°+ycos50°+2024=0，则直线l的倾斜角为(

)A.50° B.130° C.40° D.140°2.给出下列关于空间向量的命题，其中正确的结论是(

)A.若a与b所在的直线是异面直线，则a与b一定不共面

B.非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面

C.两个非零向量a，b与任何一个向量c都不能构成空间的一个基底，则a//b

D.a与b是平面α上互不平行的向量，点A∉α，点B∉α，则AB与a、3.圆C1：(x+1)2+(y−2)2=36与圆A.内切 B.外切 C.相交 D.外离4.已知圆O：x2+y2=4上有A，B两点，若满足OAA.2 B.22 C.105.在空间直角坐标系中，已知A(2,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，若线段PD与平面ABC交于F点，则PFFD的值为(

)A.3 B.2 C.1 D.16.已知直线l：xmsinα+yncosα=1，其中m，n都是正实数，A.当α=π2时，直线l的一个方向向量为(1,0)

B.当α变化时，所对应的直线均过同一个定点

C.当m≤n时，坐标原点(0,0)到直线l的距离的最小值为m

D.所有直线7.直角坐标系xOy中直线3x+y=0上的横坐标分别为−2，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面xOy折成大小为α的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则α的大小为(

)A.π3 B.2π3 C.π68.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的动点P(x0,y0)，若点P在直线2x+y=2A.45 B.85 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{a,b,A.b+c，a+c，a−b

B.a+b+c，12a+b，110.下列命题中正确的是(

)A.过点(1,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程为2x+y−4=0

B.若M(1,1)，N(3,2)在直线ax+y−2a+1=0的两侧，则a的取值范围为(−∞,−3)∪(2,+∞)

C.若三条直线x+2y=0，x−y=0，x+my=3−m不能围成三角形，则实数m的取值集合为{−1,2}

D.过定点P(1,−2)的直线截圆C：x2−4x+y2=0所得的弦长为11.如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB=4，BC=2，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，若三棱锥D−BEC的体积为2，则下列结论正确的有(

)A.异面直线BE与AC所成角的余弦值为3010

B.直线BD与平面BCE所成的角的余弦值为64

C.点A到平面BCE的距离为6

D.平面BCE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，以点D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别x轴，y轴，z轴13.嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中AC，BD分别为两个截面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e1，e2，若∠CAD=π4，∠ADB=π614.以坐标原点O为圆心的圆与x轴的负半轴交于点A，直线kx−y=0(k≠0)与圆O相交于B、C两点(其中点C在y轴的右侧)，以AB为直径的圆与BC相交于B、D两点，若直线AB与AD的斜率互为倒数，且AC=23，则圆O的方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C过点P(4,2)，Q(6,0)，圆心C在直线x+2y−4=0上．

(1)求圆C的标准方程．

(2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线MA、MB，切点为A、B，求证：直线AB过定点．16.(本小题15分)

如图，N是三棱柱ABC−A1B1C1的棱AB的中点．

(1)若A1N=xCA+yC1B1+zAA1(x,y,z∈R)，求x+y+z的值；

17.(本小题15分)

如图，在底面ABCD为正方形的多面体中，四边形ACEF为矩形，M是线段EF的中点，且MB=MD，AB=2，AF=t(t>0)．

(1)求证：平面ABCD⊥平面ACEF；

(2)若二面角A−DF−B的大小为60°，求t的值；

(3)当t取何值时，AE与平面BDF所成的角最大？18.(本小题17分)

已知长度为3的线段MN的两个端点M和N分别在x轴和y轴上滑动，点T满足TM=2NT.记点T的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(1,0)，若点H(0,3319.(本小题17分)

“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼⋅闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用d(A,B)表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即d(A,B)=|AC|+|CB|，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则d(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|.

(1)①点S(3,7)，T(2,−1)，求d(S,T)的值；

②写出到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程．

(2)已知点N(1,0)，直线

参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.BD

11.AC

12.(4,3,−2)

13.214.x215.解：(1)由P(4,2)，Q(6,0)，圆心C在直线x+2y−4=0上．

可得PQ的中点(5,1)，kPQ=−1，

所以线段PQ的中垂线斜率为1，

所以线段PQ的中垂线方程为：x−y−4=0，

联立x−y−4=0x+2y−4=0，可得x=4y=0，即圆心C点坐标为(4,0)，

圆C的半径|CQ|=(6−4)2+(0−0)2=2，

所以圆C的标准方程为：(x−4)2+y2=4；

(2)依题意，设点M(0,t)，因为MA、MB与圆C相切，连结AC、MC，可知，AC⊥MA，

所以|MA|=|MB|，

|MA|=|MC|2−|AC|2=t2+12，

所以，以M为圆心，以MA、MB为半径的圆的方程为：x2+(y−t)2=t2+12，

联立x2+(y−t)2=t2+12(x−4)2+y2=4，两式作差并化简得直线AB的方程为：4x−ty−12=0，

当y=0时，x=3，所以，直线AB过定点(3,0)．

另解1：依题意，设点M(0,t)16.解：(1)因为N是三棱柱ABC−A1B1C1的棱AB的中点，

因为A1N=A1A+AN=C1C+12AB=−CC1+12(CB−CA)=−12CA+12CB−CC1，

而A1N=xCA+yC1B1+zAA1=xCA+yCB+zCC1，所以x=−12，y=12，z=−1，

所以x+y+z=−12+12−1=−1；

(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，

17.解：(1)证明：如图，设AC∩BD=O，则O是线段AC的中点，连接MO，

由MB=MD得MO⊥BD，

又矩形ACEF中，M是线段EF的中点，则EM//CO，EM=CO，

所以COME为平行四边形，则OM/​/CE，

因为四边形ACEF为矩形，则CE⊥AC，故MO⊥AC，

又AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD，

所以MO⊥平面ABCD，

又OM⊂平面ACEF，

所以平面ABCD⊥平面ACEF．

(2)因为MO⊥平面ABCD，OM/​/CE，则EC⊥平面ABCD，且BC⊥CD，

以点C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为AB=2，AF=t(t>0)，M是线段EF的中点，

则D(2,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，E(0,0,t)，F(2,2,t)，M(22,22,t)，

从而AM=(−22,−22,t)，DE=(−2,0,t)，BD=(2,−2,0)，DF=(0,2,t)，

设平面BDF的法向量为q=(x,y,z)，

则q⊥DFq⊥BD，则q⋅DF=2y+tz=0q⋅BD=2x−2y=0，

令x=1，则y=1，z=−2t，

从而平面18.解：(1)设点T(x,y)，N(0,yN)，M(xM,0)，

则TM=(xM−x,−y)，NT=(x,y−yN)，又TM=2NT，

所以xM=3x，yN=32y，

则M(3x,0)，N(0,32y)，又|MN|=3，

所以(3x−0)2+(0−32y)2=3，

整理得：y24+x2=1，

即曲线C的方程为：y24+x2=1；

(2)因为H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ，AH⊥BQ，

又kHQ=33−00−1=−33，所以kl=3，

故设直线l的方程为y=3x+m(m≠−3)19.解：(1)①因为“曼哈顿两点间距离公式”为：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则d(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|，

又S(3,7)，T(2,−1)，

所以d(S,T)=|3−2|+|7+1|=9；

②到定点G(1,1)的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为|x−1|+|y−1|=2．

(2)设直线l：2x−y+2=0上任意一点坐标为M(x1,2x1+2)，

因为“曼哈顿两点间距离公式”为：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则d(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|，

所以d(M,N)=|x1−1|+|2x1+2|，

当x1<−1时，d(M,N)=−3x1−1，此时d(M,N)>2；

当−1≤x1≤1时，d(M,N)=x1+3，此时2≤d(M,N)≤4；

当x1>1时，d(M,N)=3x1+1，此时d(M,N)>4，

综上所述，d(M,N)的最小值为2．

(3