2024-2025学年江西省部分学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省部分学校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={−1,2,3,4,6,8}，集合A={−1,3,4,6}，B={2,3,6}，则A∩(∁UB)=A.{−1,4} B.{−1,3,4} C.{2,8} D.{−1,4,8}2.函数f(x)=3−x+5A.[3,+∞) B.(2,3] C.(−∞,2)∪(2,3] D.(−∞,2)∪(2,3)3.已知幂函数f(x)=(m−1)xm+1，则f(2)=(

)A.8 B.4 C.2 D.4.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x<0时，f(x)=2x2−x−1，则当x>0时，f(x)=A.2x2+x−1 B.−2x2+x−15.已知集合A={x|1⩽x⩽2}，B={x|x2−(a+1)x+a⩽0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A.(2,3) B.(2,6) C.[2,+∞) D.(2,+∞)6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.4v2+0.6v+d0，其中d0(m)为安全距离，v(m/s)为车速A.110 B.116 C.119 D.1227.已知函数f(x)=(2a−1)x,x<2,x2−2ax+6a−3,x⩾2在R上单调递增，则实数aA.(12,43] B.[8.已知函数f(x)=x2+ax+b，若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2)，则函数f(x)的值域为A.[52,+∞) B.[32,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件

B.若b>1>a>0，则b>a2

C.“x+y”为有理数是“x，y都为有理数”的充要条件

D.若a>b，c>d10.下列说法正确的是(

)A.函数y=2x和函数y=2xx2是同一个函数

B.若f(x−1)=x，则f(x)=x+1

C.若函数g(x)的定义域是[−2,4]，则函数g(2x)的定义域是[−4,8]

D.若函数ℎ(x)=|3x−a|在区间11.若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b]，则称[a,b]为函数f(x)的“保值区间”，下列说法正确的是(

)A.函数y=x2存在保值区间

B.函数y=−1x存在保值区间

C.若一次函数y=kx+m(k≠0)存在保值区间，则k=−1或k=1

D.若函数y=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题p：“∃x∈R，x2−x>10”的否定是______．13.若关于x的不等式mx2−x+m⩾0在R上恒成立，则实数m14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|x2−4x+3⩽0}，B={x|x(x−2)⩽0}．

(1)求A∪B；

(2)若C，D为集合，定义集合运算C+D={z|z=x+y,x∈C,y∈D}，求16.(本小题15分)

已知函数f(x)=−2x−2,x<−1x2−1,−1⩽x⩽2x+1,x>2．

(1)若f(a)=2，求实数a的值；

(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象，并根据函数图象写出函数f(x)的单调区间和值域(17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+ax+bx为奇函数，其函数图象经过点(1,10)．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增；

(3)若命题p：“∀x∈[4,6]，f(x)⩾2m−1”为真命题，求实数18.(本小题17分)

已知正数a，b满足ab=2a+b+2．

(1)求a+2b的最小值；

(2)求1a+19.(本小题17分)

已知二次函数f(x)的最小值为0，且f(−1)=1，f(2)=4．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数f(x)为偶函数，函数g(x)=a|x−1|．

(i)关于x的方程|f(x)−1|=g(x)有3个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(ii)当a⩾−2时，求函数ℎ(x)=|f(x)−1|+g(x)在区间[−3,3]上的最值．

参考答案1.A

2.C

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ABD

10.AB

11.ACD

12.∀x∈R，x213.[114.{x|x<−2或1<x<4}

15.解：(1)因为A={x|x2−4x+3⩽0}={x|(x−1)(x−3)⩽0}={x|1⩽x⩽3}，

B={x|x(x−2)⩽0}={x|0⩽x⩽2}，

所以A∪B={x|0⩽x⩽3}；

(2)因为A={x|1⩽x⩽3}，B={x|0⩽x⩽2}，

由集合运算的新定义及不等式的性质，可得16.解：(1)①当a<−1时，若f(a)=2，则−2a−2=2，解得a=−2；

②当−1⩽a⩽2时，若f(a)=2，则a2−1=2，解得a=−3(舍去)或a=3；

③当a>2时，若f(a)=2，则a+1=2，解得a=1(舍去)．

综上所述，实数a的值为−2或3．

(2)函数f(x)的大致图象如下：

由图可知，函数f(x)的单调递减区间为17.(1)解：由题知f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，因为函数f(x)为奇函数，

所以f(−x)=−f(x)，即(−x)2+a(−x)+b−x=−x2+ax+bx，

所以ax=0，对∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞)恒成立，所以a=0，故f(x)=x2+bx，

因为函数f(x)的图象经过点(1,10)，即12+b1=10，解得b=9，

所以a=0，b=9．

(2)证明：由(1)知f(x)=x2+9x=x+9x．

令x2>x1⩾3，所以x2−x1>0，x1x2−9>0，x1x2>0，

18.解：(1)由ab=2a+b+2，得b=2a+2a−1>0，

所以a>1，

所以a+2b=a+2(2a+2)a−1=a+4a+4a−1=a+4(a−1)+8a−1=a+8a−1+4，

=(a−1)+8a−1+5⩾2(a−1)×8a−1+5=42+5，

当且仅当a−1=8a−1，即a=1+22时取等号，

故a+2b的最小值为5+42；

(2)由ab=2a+b+2，得2a+b+2ab=1，即1a+2b+219.解：(1)由题意可设函数f(x)=m(x−n)2(m>0)，

由f(−1)=1，f(2)=4，得m(−1−n)2=1,m(2−n)2=4,

解得m=1,n=0,或m=19,n=−4,

故函数f(x)的解析式为f(x)=x2或f(x)=19(x+4)2．

(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)=x2．

(i)方程|f(x)−1|=g(x)，即|x2−1|=a|x−1|，

可化为|x+1|⋅|x−1|=a|x−1|，即(|x+1|−a)|x−1|=0，

所以|x+1|−a=0或|x−1|=0．

由|x−1|=0，得x=1．

若关于x的方程|f(x)−1|=g(x)有3个不相等的实数根，则必有a>0．

当a>0时，由|x+1|−a=0，得x=a−1或x=−a−1，且a−1≠1，−a−1≠1，

即a>0且a≠2，

所以实数a的取值范围为(0,2)∪(2,+∞)．

(ii)由题知ℎ(x)=|x2−1|+a|x−1|，即ℎ(x)=x2−ax+a−1,−3⩽x<−1,−x2−ax+a+1,−1⩽x⩽1,x2+ax−a−1,1<x⩽3.

①当a=0时，ℎ(x)=|x2−1|，所以ℎ(x)max=ℎ(3)=ℎ(−3)=8，ℎ(x)min=ℎ(1)=ℎ(−1)=0．

②当a>0时，ℎ(x)⩾0，由ℎ(1)=0，得ℎ(x)min=ℎ(1)=0．

当−3⩽x<−1时，二次函数y=x2−ax+a−1的对称轴为x=a2>0，此时ℎ(−1)<ℎ(x)⩽ℎ(−3)，故2a<ℎ(x)⩽4a+8；

当1<x⩽3时，二次函数y=x2+ax−a−1的对称轴为x=−