2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．圆内接四边形对角和是180° B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（）A． B． C． D．3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（）A．39° B．45° C．49° D．51°4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（）A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位 B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位 C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位 D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（）A．4 B．5 C．7 D．66．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：抽奖次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m385669258299中奖的频率0.380.3730.3450.3230.299根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.257．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：610．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（）A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是．12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是．13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件．（只需写出一个条件即可）14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝．15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝，线段PD的最小值为．三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标和a的值；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠ABD＝∠AEB．19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．（1）求正六边形ABCDEF的边长；（2）求阴影部分的面积．20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．（1）求c的值．（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．23．根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．24．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．（1）求证：∠AGD＝∠ADC；（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．

2024-2025学年浙江省杭州市天杭教育集团思远学部九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．圆内接四边形对角和是180° B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况选：A．2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（）A． B． C． D．选：B．3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（）A．39° B．45° C．49° D．51°选：D．4．（3分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（）A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位 B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位 C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位 D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位选：A．5．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（）A．4 B．5 C．7 D．6选：D．6．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：抽奖次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m385669258299中奖的频率0.380.3730.3450.3230.299根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25选：C．7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°选：B．8．（3分）已知点A（﹣3，m﹣1），B（﹣1，m），C（1，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．选：C．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6选：B．10．（3分）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（）A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0选：B．二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是．12．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是．13．（3分）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件∠A＝∠C（答案不唯一）．（只需写出一个条件即可）14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是（2，1）；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝﹣．15．（3分）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝106°．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝2，线段PD的最小值为2﹣2．三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标和a的值；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0），把点B坐标代入y＝a（x+1）2+4得，4a+4＝0，解得a＝﹣1；（2）∵a＜0，二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交点为（﹣3，0）和（1，0），∴当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．18．已知：如图△ABC内接于圆O，AB＝AC，D为弧BC上任意一点，连接AD，BD．（1）若∠ADB＝65°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠ABD＝∠AEB．【解答】（1）解：∠ACB＝∠ADB＝65°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°；（2）证明：∵∠AEB＝∠EAC+∠ACB，而∠ABC＝∠ACB，∠EAC＝∠DBC，∴∠AEB＝∠DBC+∠ABC，即∠ABD＝∠AEB．19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．（1）求正六边形ABCDEF的边长；（2）求阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴△COD是正三角形，∴∠COD＝60°，∵CG⊥OD，∴OG＝DG＝OD＝2，∴OC＝2OG＝4，即正六边形的边长为4；（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，∴CG＝OG＝2，∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×4×2＝﹣4．20．迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动（每人只能抽取一次），盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．【解答】解：（1）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小明同学选择A，B两项组合的结果有2种，∴小明同学选择A，B两项组合的概率为＝．（2）将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为a，b，c，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有3种，∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为＝．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF•DE＝BF•CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF•CE．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为已知数，且a≠0）与y轴的交点是（0，4）．（1）求c的值．（2）若二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x﹣2的图象交于点（k，0），求k的值，并用含a的代数式表示b．（3）在（2）成立的情况下，若1≤a≤2，当1≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【解答】解：（1）把（0，4）代入y＝ax2+bx+c，即c＝4．（2）由题意知点（k，0）过一次函数y＝x﹣2，则k＝2，由（1）知二次函数为：y＝ax2+bx+4，∵（2，0）在二次函数y＝ax2+bx+4上，∴a×22+b×2+4＝0，则b＝﹣2a﹣2；（3）由（2）知二次函数为：y＝ax2﹣（2a+2）x+4，则函数对称轴为，∵1≤a≤2，∴，∴，∵1≤x≤2时，y＝ax2﹣（2a+2）x+4的最大值为m，最小值为n，∴m＝a×12﹣（2a+2）×1+4＝﹣a+2，，则，∵a＝2，，∴m﹣n的最小值为．23．根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务