2023年长沙市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年长沙市初中学业水平考试·数学一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.下列各数中，是无理数的是()A.17 BC.－1 D.01.B【解析】∵无理数是无限不循环小数，π是无限不循环小数，∴选项B符合题意．2.下列图形中，是轴对称图形的是()2.D【解析】∵轴对称图形是指在平面内，将某个图形沿一条直线折叠，直线两旁能够完全重合的图形，∴选项D符合题意．3.下列计算正确的是()A.x2·x3＝x5 B.(x3)3＝x6C.x(x＋1)＝x2＋1 D.(2a－1)2＝4a2－13.A4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.

1，3，4 B.

2，2，7 C.

4，5，7 D.

3，3，64.C【解析】∵三条线段必须满足任意两条线段长度之和大于第三条线段长度，这三条线段才能组成三角形，∴可以逐项分析如下：选项逐项分析能否组成三角形A1＋3＝4否B2＋2<7否C4＋5>7，4＋7>5，5＋7>4能D3＋3＝6否5.2022年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长4.5%.其中数据1400000000000用科学记数法表示为()A.

1.4×1012 B.

0.14×1013C.

1.4×1013 D.

14×10115.A6.如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1＝40°，则∠2的度数为()A.

30° B.

40° C.

50° D.

60°6.C【解析】∵直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，∴∠1＝∠ABC＝40°.∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°.7.长沙市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是()A.

这周最高气温是32

℃B.

这组数据的中位数是30C.

这组数据的众数是24D.

周四与周五的最高气温相差8

℃7.B【解析】∵折线图的最高点表示的温度是32

℃，∴选项A正确，不符合题意；∵将一周内的气温从低到高排序为24，24，26，27，28，30，32，处于正中间位置的是27，∴这组数据的中位数是27，∴选项B错误，符合题意；∵这组数据中出现次数最多的数是24，∴这组数据的众数是24，选项C正确，不符合题意；∵周四的最高气温是32

℃，周五的最高气温是24

℃，∴周四与周五的最高气温相差8

℃，∴选项D正确，不符合题意．8.不等式组2x8.A【解析】解不等式2x＋4>0得x>－2，解不等式x－1≤0得x≤1，∴这个不等式组的解集为－2<x≤1.9.下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是()A.y＝2x＋1 B.y＝x－4 C.y＝2x D.y＝－x＋19.D【解析】在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k<0时，y随x的增大而减小，选项A：k＝2>0，不符合题意；选项B：k＝1>0，不符合题意；选项C：k＝2>0，不符合题意；选项D：k＝－1<0，符合题意．10.“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是()A.19 B.C.13 D.10.C【解析】记三张卡片分别为“A，B，C”，画树状图如解图，由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中恰好领取同一类礼品的结果有3种，∴P(恰好领取同一类礼品)＝39＝1解图二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11.分解因式：a2－100＝________．11.(a＋10)(a－10)12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间(单位：小时)如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是________小时．12.9【解析】该学生这5天的平均睡眠时间为10＋13.如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是________度．

13.65【解析】由作图可知，BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵三角形的内角和是180°，∴∠BDE＋∠BED＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠BDE＝180°14.如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝kx(k为常数，k＞0，x＞0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA.若△OAB的面积为1912，则14.196【解析】设点A(x，y)，∵点A在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝xy，∵点A在第一象限，且AB⊥x轴于点B，∴OB＝x，AB＝y，∵S△OAB＝1912，∴12xy＝1912，∴xy＝196，∴k＝15.如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为

．15.1【解析】如解图，连接OB，则∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OD⊥AB于点E，∴AD⏜＝BD⏜，∴∠AOD＝12∠AOB＝60°，∠AEO＝90°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝12AO解图16.毛主席在《七律二首·送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想，从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无止境，伟大梦想不止步.2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的1216.4【解析】由圆的周长公式C＝2πr可知，当半径r改变为原来的一半时，圆的周长变为原来周长的一半，∴该圆的周长大约为8×12三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算：|－2|＋(－2023)0－2sin45°－(12)－117.解：原式＝2＋1－2×22－＝－1.18.先化简，再求值：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－1318.解：原式＝4－a2－2a2－6a＋3a2＝4－6a.当a＝－1319.2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°.(1)求点A离地面的高度AO；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：3≈1.73)19.解：(1)∵在Rt△AOC中，AC＝8，∠ACO＝30°，∴OA＝AC·sin∠ACO＝8×12答：点A离地面的高度AO为4km；(2)在Rt△AOC中，根据勾股定理得OC＝AC2－AO2＝在Rt△BOC中，∵∠BCO＝45，∴BO＝OC＝43，∴BA＝BO－AO＝43－4，∴飞船从A处到B处的平均速度为43答：飞船从A处到B处的平均速度约为0.3km/s.20.为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3

000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩(满分为100分，所有竞赛成绩均不低于60分)分成四个等级(D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100)，并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：n＝________，m＝________；(2)请补全频数分布直方图；(3)扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为________度；(4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．20.解：(1)n＝150，m＝36；(2)补全频数分布直方图如解图；解图(3)144；【解法提示】扇形统计图中B等级所在扇形圆心角度数为360°×40%＝144度；(4)3000×16%＝480(名)，答：该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数约有480名．21.如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长．21.(1)证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，∠AEB＝∠AD(2)解：由(1)知△ABE≌△ACD，∵AE＝6，CD＝8，∴AD＝AE＝6，BE＝CD＝8，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AB＝AE2＋BE2＝62答：BD的长为4.22.为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内(含3分线)投篮，投中一球可得2分．某班级在其中一场比赛中，共投中26个球(只有2分球和3分球)，所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？22.解：(1)设该班级胜x场，负(15－x)场．由题意得3x＋(15－x)＝41，解得x＝13.15－x＝2.答：该班级胜13场，负2场；(2)设该班级这场比赛中投中了a个3分球，由题意得3a＋2(26－a)≥56，解得a≥4.答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．23.如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：AD＝AF；(2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．23.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDF.又∵DF平分∠ADC

，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF；(2)解：如解图，过点F作FG⊥DA，交DA的延长线于点G，∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝3；∵∠DAF＝120°，∴∠FAG＝60°.在Rt△AGF中，FG＝AF·sin60°＝33，∴S△ADF＝12×6×33＝93解图24.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2＋AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点(不与点A，C重合)，过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M(点M在劣弧A︵(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1·S＝(S2)2，求(tanD)2的值；(3)若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE·FN·1BC·BN＋1AE24.解：(1)BD是⊙O的切线．证明如下：在△ABC中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，则AB为⊙O的直径．∴∠CAB＋∠ABC＝90°.又∵∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC＋∠ABC＝90°.∴AB⊥DB，又∵AB为⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线；(2)由题意可得S1(S1＋S2)＝(S2)2，从而(S2S1)2－由题意可得△ABC∽△BDC，得S2S1＝(ABBD)2由①解得S2S1＝5＋12或S2S1＝－(3)如解图，连接AM，BM，由(1)可知AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，MF⊥AB，易证△BMF∽△MAF∽△BAM，可得FM2

＝AF·BF，BM2＝BF·AB

，AM2＝AF·AB.由△NBF∽△AEF可得BFEF＝NFAF，∴FE·∵FM＝x，∴FE·FN

＝AF·BF＝FM2＝x2.由△NBF∽△ABC可得NBAB＝BFBC，∴BC·BN＝BF由△AEF∽△ABC可得AEAB＝AFAC，∴AE·AC＝AF·AB＝AM2.∴1BC·BN＋1AE·AC＝1∴y＝x21x2＝x(0＜【一题多解】∵△BCA∽△BFN，∴BCBF＝BABN，∴BC·∵△AEF∽△ABC，∴AFAC＝AEAB，∴AE·∵△AEF∽△NBF，∴EFBF＝AFNF，∴FE·∴y＝FE·FN·1BC·＝（BF·AF）2AB·如解图，连接BM，AM，∵AB为⊙O的直径，∴∠BMA＝90°，在Rt△ABM中，MF⊥AB，易证△BMF∽△MAF，可得FM2＝BF·AF＝x2.∴y＝BF·AF＝x2解图25.我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2＋b1x＋c1与y2＝a2x2＋b2x＋c2同时满足a2－c1＋(b2＋b1)2＋|c2－a1|＝0，(b1－b2)2023≠0，则称函数y1与函数(1)若关于x的二次函数y1＝2x2＋kx＋3与y2＝mx2＋x＋n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；(2)对于任意非零实数r，s，点P(r，t)与点Q(s，t)(r≠s)始终在关于x的函数y1＝x2＋2rx＋s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．①求函数y2的图象的对称轴；②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2＋bx＋c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F.当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不能，请说明理由．25.解：(1)由题意可得a2＝c1，b2＝－b1，c2＝a1，且a1，b1，c1≠

0，所以函数y1＝a1x2＋b1x＋c1的“美美与共”函数为y2＝c1x2－b1x＋a1，从而由y1＝2x2＋kx＋3与函数y2＝mx2＋x＋n互为“美美与共”函数