2023年北京市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年北京市初中学业水平考试·数学全卷总分:100分考试时间:120分钟第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半．将239

000

000用科学记数法表示应为()A.23.9×107 B.2.39×108C.2.39×109 D.0.239×1091.B2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2.A【解析】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形；B.是中心对称图形，不是轴对称图形；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．3.如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为()A.36° B.44° C.54° D.63°3.C【解析】∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，∴∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝36°，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝54°.4.已知a－1＞0，则下列结论正确的是()A.－1＜－a＜a＜1 B.－a＜－1＜1＜aC.－a＜－1＜a＜1 D.－1＜－a＜1＜a4.B【解析】∵a－1＞0，∴a＞1，∴－a<－1，∴－a<－1<1<a.5.若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为()A.－9 B.－9C.94 D5.C【解析】∵x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(－3)2－4m＝0，∴m＝946.正十二边形的外角和为()A.30° B.150° C.360° D.1800°6.C【解析】多边形的外角和为360°.7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是()A.14 B.C.12 D.7.A【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中第一次正面向上，第二次反面向上的结果有1种，∴P(第一次正面向上，第二次反面向上)＝14解图8.如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE.设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a＋b＜c；②a＋b＞a2＋b2；③2(a＋b)＞c.上述结论中，所有正确结论A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.D【解析】如解图，过点E作EF⊥CD，交CD延长线于点F，∵∠A＝∠C＝90°，四边形ACFE是矩形，∴EF＝AC＝a＋b，∵在Rt△EDF中，EF<DE，∴a＋b<c，①正确；∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴BE＝AB2＋AE2＝a2＋b2，∵在Rt△ABE中，AB＋AE＞BE，∴a＋b＞a2＋b2，②正确；∵△EAB≌△BCD，∴BE＝BD，∠AEB＝∠CBD.∵∠A＝∠C＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠CBD＋∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴BE＝22c.∵在△ABE中，AB＋AE＞BE，∴a＋b＞2解图第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.若代数式5x－2有意义，则实数x的取值范围9.x≠2【解析】分式5x－2有意义，则分母x－2≠0，10.分解因式：x2y－y3＝________．10.y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．11.方程35x＋1＝111.x＝1【解析】去分母，得6x＝5x＋1，移项、合并同类项，得x＝1.检验：当x＝1时，2x(5x＋1)≠0，∴x＝1是原分式方程的解．12.在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(－3，2)和B(m，－2)，则m的值为________12.3【解析】∵函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(－3，2)，B(m，－2)，∴将A(－3，2)，B(m，－2)代入y＝kx(k≠0)，得k＝－6＝－2m，∴m13.某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时)，数据整理如下：使用寿命x＜1

0001

000≤x＜1

6001

600≤x＜2

2002

200≤x＜2

800x≥2

800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2

200小时的灯泡的数量为________

只．13.460【解析】1000×17＋614.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的

14.32【解析】∵AB∥EF∥CD，∴BEEC＝AFFD＝AO＋OFFD，∵AO＝2，OF＝1，FD＝15.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．15.2【解析】∵OA是⊙O的半径，OA⊥BC，BC＝2，∴CD＝12BC＝1.∵∠AOC＝45°，∴∠OCD＝90°－∠AOC＝45°，∴OD＝CD＝1，CO＝OD2＋CD2＝2，∴OA＝2.∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°－∠AOC＝45°，∴16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要________分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要________分钟．16.53；28【解析】由一名学生完成，则需要9＋9＋7＋9＋7＋10＋2＝53分钟；由两名学生合作完成，要使所用时间最少，则可同时进行两道工序，根据工序的先后顺序，可知工序A，B，C，D应靠前完成，工序E，F应靠后完成，工序G先后均可，又∵工序C，D须在工序A完成后进行，∴工序A，B可先同时进行，9分钟后同时完成，工序A，B完成后可进行的工序为C，D，G，所需时间分别为7分钟、9分钟、2分钟，∴可安排一名学生完成工序D，与此同时另一名学生完成工序C，G，9分钟后同时完成，剩余工序E，F两名学生同时进行，各完成一个，工序E需要7分钟，工序F需要10分钟，则10分钟后所有工序完成，∴最少需要9＋9＋10＝28分钟．三、解答题(共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分)17.计算：4sin60°＋(13)－1＋|－2|－1217.解：原式＝4×32＋3＋2－2＝23＋3＋2－23＝5.18.解不等式组：{18.解：解不等式x＞x＋23，得x解不等式5x－3<5＋x，得x<2，∴该不等式组的解集为1<x<2.19.已知x＋2y－1＝0，求代数式2x＋419.解：原式＝2（x＋2∵x＋2y－1＝0，∴x＋2y＝1，∴原式＝21＝20.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝12，求BC的长20.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形；(2)解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2.∵AE＝BE，AB＝2，∴2AE2＝4，∴AE＝BE＝2.∵tan∠ACB＝AECE＝12，∴CE＝22，∴BC＝BE＋CE＝2＋22＝21.对联是中华传统文化的瑰宝．对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110.某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．(书法作品选自《启功法书》21.解：设该对联装裱后天头长为6xcm，则地头长为4xcm，左、右边的宽为

110(6x＋4x)＝xcm根据题意列方程，得100＋6x＋4x＝4(27＋2x)，解得x＝4，∴6x＝24.答：边的宽为4cm，天头长为24cm.22.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C.(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝23x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值22.解：(1)将A(0，1)和B(1，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得b＝解得k＝1b＝1，∴该函数的解析式为y将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3，∴点C的坐标为(3，4)；(2)n的值为2.【解法提示】当y＝23x＋n经过点C(3，4)时满足条件，将(3，4)代入y＝23x＋n，得23×3＋n＝4，解得23.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：a．16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m，n的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是

________

(填“甲组”或“乙组”)；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和23.解：(1)m＝166，n＝165；【解法提示】共16名学生，中位数为身高按从小到大的顺序排序后第8，9名学生身高的平均数，∴m＝166＋1662＝166.16名学生的身高数据中，165出现了3次，出现的次数最多，∴(2)甲组；(3)170，172.24.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．24.(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝CD.∵B︵＝B︵，∴∠BAC＝∠∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC，DE⊥AC，∴∠ADB＋∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°；【一题多解】∵B︵＝B︵，∴∠BAC＝∠∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABD＋∠ADB＝12(∠ABC＋∠ADC)＝90°，∴∠BAD＝90°(2)解：∵AC＝AD，且由(1)得AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∴∠BDC＝12∠ADC＝30°，∠ABC＝180°－∠ADC＝120°，∴∠CBF＝∵∠BAD＝90°，∴BD是此圆的直径，∴∠BCD＝90°.∵CF∥AD，∴∠F＝180°－∠BAD＝90°，∴∠BCF＝90°－∠CBF＝30°.∵BF＝2，∴BC＝2BF＝4，∴BD＝2BC＝8，即此圆的直径是8，∴此圆的半径是4.25.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990.方案一：采用一次清洗的方式.结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.方案二：采用两次清洗的方式.记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为(x1＋x2)个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0x20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5x1＋x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.(Ⅰ)选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；(Ⅱ)通过分析(Ⅰ)中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1＋x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为________个单位质量(精确到个位)时，总用水量最小.根据以上实验数据和结果，解决下列问题：(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比，可节水约________

个单位质量(结果保留小数点后一位)；(2)当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C________

0.990(填“＞”“＝”或“＜”)．25.解：(Ⅰ)如下表：x111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0x20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C

0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√(Ⅱ)如图；结果：4.(1)11.3；(2)<.26.在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点．设抛物线的对称轴为x＝t.(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；(2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．26.解：(1)∵x1＝1，x2＝2，y1＝y2，∴抛物线对称轴为直线x＝t＝x1＋x22＝1＋22＝(2)在点M(x1，y1)，点N(x2，y2)中，∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴x1＜x2.∵a＞0，∴抛物线开口向上．又∵抛物线为轴对称图形，∴当y1＜y2，则点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离得|t－x1|＜|x2－t|，两边平方，得t2－2x1t＋x12＜t2－2x2t＋x2整理得x12－x22－2x1t＋2x2t(x1－x2)(x1＋x2)－2t(x1－x2)＜0(x1－x2)(x1＋x2－2t)＜0.∵x1＜x2，∴x1＋x2－2t＞0，x1＋x2＞2t，t＜x1由不等式及不等式关系0＜x1＜1，1＜x2＜2，将两式相加，得1＜x1＋x2＜3，∴12＜x1＋x22＜32【一题多解】

∵a＞0，∴抛物线开口向上．又∵抛物线为轴对称图形，∴当y1＜y2，则点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离．∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴x1＜x2，如解图①，当t＜x1＜x2，则点M和点N都在对称轴的右侧，符合题意，此时t≤0；如解图②，当x1＜x2＜t，则点M和点N都在对称轴的左侧，不符合题意，此时t≥2；当x1＜t＜x2，则点M和点N分别位于对称轴的两侧，此时0＜t＜2.(i)如解图③，当t＝1时，不能保证点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，不符合题意；(ii)当1＜t＜32时，不能保证点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，不符合题(iii)如解图④当32≤t＜2时，点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，不符合题(iiii)当12＜t＜1时，不能保证点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，不符合题(iiiii)如解图⑤，当0＜t≤12时，点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，符合题∴综上所述，t的取值范围为t≤1227.在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.(1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．27.(1)证明：由题意得，∠MDE＝2α，MD＝DE，∵∠MDE＝∠C＋∠DEC，∠C＝α，∴∠DEC＝2α－α＝α＝∠C，∴DC＝DE，∴MD＝DC，即D是MC的中点；(2)解：∠AEF＝90°.证明：如解图，连接AF，延长FE至点Q，使得FE＝EQ，连接AQ，CQ，∵FD＝DC，FE＝EQ，∴DE是△FCQ的中位线，∴DE∥CQ，DE＝12CQ，∴∠FDE＝∠DCQ＝∠DCA＋∠ACQ∵∠B＝∠DCA＝α，∠FDE＝2α＝2∠B，∴∠ACQ＝∠DCA＝α，∴∠B＝∠ACQ，由题意得，BF＝BC－FC＝2MC－2CD＝2(MC－CD)＝2MD.∵DM＝DE，∴2DM＝2DE＝2×12CQ＝CQ在△ABF和△ACQ中，AB＝AC∠B＝∠AC又∵FE＝EQ，∴AE⊥FQ，∴∠AEF＝90°.解图28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．(1)如图，点A(－1，0)，B1(－22，22)，B2(22，－①在点C1(－1，1)，C2(－2，0)，C3(0，2)中，弦AB1的“关联点”是________；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；(2)已知点M(0，3)，N(655，0)．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范28.解：(1)①C1，C2；【解法提示】如解图①，连接C1A，连接C1B1并延长，∵C1(－1，1)，B1(－22，22)，∴B1，C1在直线y＝－x上．∵O(0，0)∴直线B1C1经过点O.∵A(－1，0)，∴OA⊥AC1，∴AC1是⊙O的切线，∴C1是弦AB1的“关联点”；如解图②，连接C2B1，连接C2A并延长，∵C2(－2，0)，A(－1，0)，∴直线C2A经过圆心O,

连接OB1.∵B1(－22，22)，∴OB1＝1，B1C2＝1，OC2＝2，∴OB12＋B1C22＝OC22，∴OB1⊥B1C2，∴B1C2是⊙O的切线，∴C2是弦AB②2；【解法提示】如解图③，当C