专题28 与圆有关的计算（练习）（21题型）

第28讲与圆有关的计算目录TOC\o"1-2"\h\u题型过关练 2题型01求正多边形中心角 2题型02求正多边的边数 2题型03正多边形与圆中求角度 2题型04正多边形与圆中求面积 3题型05正多边形与圆中求周长 4题型06正多边形与圆中求边心距、边长 6题型07正多边形与圆中求线段长 7题型08正多边形与圆的规律问题 8题型09求弧长 9题型10利用弧长及扇形面积公式求半径 10题型11利用弧长及扇形面积公式求圆心角 12题型12求某点的弧形运动路径长度 12题型13求扇形面积 14题型14求图形旋转后扫过的面积 15题型15求圆锥侧面积 17题型16求圆锥底面半径 17题型17求圆锥的高 18题型18求圆锥侧面积展开图的圆心角 19题型19圆锥的实际问题 19题型20圆锥侧面上的最短路径问题 20题型21计算不规则面积 21真题实战练 24

题型过关练题型01求正多边形中心角1．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．482．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在DE上，则∠CFD＝_____度．3．（2022·江苏扬州·扬州教育学院附中校考二模）如图，在正十边形A1A2A3A4题型02求正多边的边数4．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．5．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．6．（2022·广东深圳·统考二模）一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面积为2π，则这个正多边形的边数是______．题型03正多边形与圆中求角度7．（2022·山东青岛·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为（

）A．54° B．60° C．71° D．72°8．（2022·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°9．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG,OK，分别与AB,CB，相交于点M，N，当∠GOK+∠ABC=180A．∠GOK=60° B．MB+NB=DCC．S四边形OMBN=112S10．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．题型04正多边形与圆中求面积11．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:112．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,SA．S1+S2=2S3 B．13．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）边长为a的正方形的对称轴有____________条，这个正方形的外接圆的面积是____________．14．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是3，则阴影部分的面积是___________．15．（2022·四川成都·校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积.题型05正多边形与圆中求周长16．（2022·河北唐山·统考二模）如图，有公共顶点O的两个边长为5的正五边形（不重叠），以点O为圆心，5为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的周长为（

）A．4π B．4πC．10π D．10π17．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，∠ACB的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm18．（2022·云南昆明·统考二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈lA．l12=24RsinC．l12=24Rsin19．（2022·浙江·统考二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图2所示．当∠CBD=74°时：(1)求A离纸面CD的距离．(2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）题型06正多边形与圆中求边心距、边长20．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）半径为2的圆内接正六角形的边长是（）A．1 B．2 C．3 D．2321．（2022·河南信阳·统考三模）如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（

）A．2cm B．3cm C．1cm D．3cm22．（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是_________．23．（2022·陕西西安·校考模拟预测）某正多边形的边心距3，半径为2，则该正多边形的面积为________．24．（2022·辽宁沈阳·统考二模）半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________．题型07正多边形与圆中求线段长25．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（

）A．22+2 B．4 C．2+26．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（

）A．AE∥BF B．AF∥CD C．27．（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（

）A．211−2 B．213−2 28．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则AMCM的值为______题型08正多边形与圆的规律问题29．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，，重复上述过程，经过2018次后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（

）A．(2)2016倍 B．(3)2017倍 C．30．（2022·广东湛江·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为______．31．（2022·广东·模拟预测）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（）A．（−32，−3） B．（32，−332） C．（−3，题型09求弧长32．（2022·山东枣庄·统考三模）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB=60°，则劣弧AB的长是（

）A．8πcm B．16πcm C．32πcm33．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（AB）的长度为（

A．20πm B．30πm C．40πm34．（2022·广东中山·统考一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则AMB的长是（

）A．11πcm B．112πcm C．7πcm D．35．（2023·湖北武汉·校考一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为23mA．5π3m B．8π3m C．36．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点A，B，C，D在半径为5的⊙O上，连接AB，BC，CD，AD．若∠ABC=108°，则劣弧AC的长为_______．

37．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为O的弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40cm，MB=205cm．（参考数据：tan

(1)求弓形AMB的半径；(2)求优弧AMB的长．题型10利用弧长及扇形面积公式求半径38．（2021·安徽·统考三模）如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧AB的中点，若∠BAC＝30°，劣弧AB的长为23π，则⊙O的半径为________39．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的弧长是4πcm，面积是12πcm2，则此扇形的半径是40．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为2cm，则这个扇形的半径是________cm

41．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，点C为AmB的中点，现有以下信息：

①AB为直径；②∠ACD=60°；③∠CEB=105°．(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．(2)在（1）的条件下，若AD的长为43π，求题型11利用弧长及扇形面积公式求圆心角42．（2022·湖南长沙·一模）已知扇形半径是3cm，弧长为32πcm，则扇形的圆心角为43．（2021·新疆乌鲁木齐·新疆农业大学附属中学校考一模）已知扇形面积为24π，弧长为8π，则此扇形的圆心角为________度．44．（2022·河南驻马店·校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）题型12求某点的弧形运动路径长度45．（2023·贵州贵阳·统考三模）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径BC

A．450π cm B．225π cm C．15π cm46．（2022·福建厦门·统考二模）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留π）47．（2022·山东滨州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到△AB'C'，并使点C'落在AB边上，则点48．（2021·广西河池·统考二模）如图所示，将一个半径OA=10cm，圆心角∠AOB=90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上时，则半径OA的中点P运动的路线长为_________cm49．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A−1,0，B−2,−1，(1)以原点O为位似中心，相似比为2，作△ABC的位似图形，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1（点(2)若将△ABC绕原点O逆时针旋转90∘，得到△A2B2C2，请在图中作出△A2B2C2（点A题型13求扇形面积50．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（

A．π3 B．3π5 C．2π351．（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）52．（2022·湖北十堰·统考一模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．53．（2023·江苏徐州·一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结(1)求证：CD∥(2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．题型14求图形旋转后扫过的面积54．（2017·山东淄博·统考一模）如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A'B'C，已知AC=6，A．3π2 B．8π3 C．6π 55．（2020·广东深圳·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1

A．73π−783 B．456．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A

57．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(2,2)，B(1,3)，把△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A(1)画出△A1B1O(2)计算在旋转过程中，△ABO所扫过的面积．(3)以原点O为位似中心，位似比为2，在第三象限画出△ABO放大后的△A题型15求圆锥侧面积58．（2023·浙江宁波·统考二模）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm259．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（

）A．24π B．21π C．15π D．12π60．（2023·广东汕头·校考一模）圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（

）A．36π B．52π C．100π 61．（2023·山东东营·东营市东营区实验中学校考一模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．题型16求圆锥底面半径62．（2021·山东临沂·统考二模）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________m．63．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．64．（2022·广东中山·校联考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．题型17求圆锥的高65．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（A．14m B．34m C．66．（2019·浙江金华·校联考一模）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．34 B．35 C．4567．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为_____cm．68．（2022·广东韶关·校考三模）若圆锥侧面展开图是面积为65πcm2的扇形，扇形的弧长为题型18求圆锥侧面积展开图的圆心角69．（2023·内蒙古包头·模拟预测）若一个圆锥体的底面积是其表面积的14，则其侧面展开图圆心角的度数为______________70．（2022·湖南长沙·统考一模）曹老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的半径是10cm，则这张扇形纸板的圆心角是_____．71．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是__________题型19圆锥的实际问题72．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（

A．4cm B．8cm C．12cm73．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为r的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与r的关系为（

）A．R=2r B．R=4r C．R=22r D．R=674．（2020·云南昆明·统考二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（）A．240πcm2 B．576πcm2 C．75．（2020·江苏苏州·统考一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ABAD=

76．（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．

题型20圆锥侧面上的最短路径问题77．（2021·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是23，母线长是63．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是78．（2021·云南昆明·统考二模）如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为_____．79．（2019·山东泰安·统考二模）圆锥的底面周长为2π3，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______题型21计算不规则面积80（2022·宁夏银川·宁夏银川二十四中校考一模）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是AB的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于（

）A．π2−1 B．π2−2 C．81．（2015·山东日照·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°AC=4,BC=2两分圆别以AC,BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（

）A．5π2−4 B．10π−4 C．10π−8 82（2019·内蒙古巴彦淖尔·统考一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣883（2023·山东淄博·统考一模）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB=2，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）84（2023·山东枣庄·统考一模）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'．若∠85（2022·广东湛江·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影部分的面积为__________86（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CD＝43．以点A为圆心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为________．87．（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=4388．（2021·浙江嘉兴·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=6，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．89．（2020·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）如图，在ΔABC中，BC＝4，且ΔABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝45°．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求图中阴影部分的面积．真题实战练一、单选题1．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得A．3 B．22 C．3 D．2．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°3．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（

A．43π−3 B．43π−34．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为32，则这个正多边形的边数是（

A．4 B．6 C．7 D．85．（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线AB的长为（

A．π4km B．π2km C．6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、

A．414π−20 B．412π−20 7．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P

A．P1<P2 B．P18．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙

A．14πcm2 B．13π9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（

）

A．16 B．18 C．11010．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（

A．20π cm B．10π cm C．5π cm11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm12．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F

A．π−2 B．2π−2 C．213．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（

）

A．5 B．33 C．32 14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π15．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为2，则其侧面展开图的面积为（

A．3π B．23π C．3二、填空题16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S

17．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．

18．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．

19．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r

20．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为_____________cm2

21．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则AB的长为_________m．（结果保留π）

22．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________cm

23．（2023·湖南·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为__________cm2．（结果保留π

24．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠AOB=90°25．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C

26．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC边上的高AD=2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______．

三、解答题27．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF(1)求证：AE(2)若AF=1，求AE的长．(3)求S正五边形28．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作(1)求k的值；(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．29．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF

(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π30．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，AC=AC'，BC=B

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（

）”处应填理由：____________________；（2）如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A'

①请在图中作出点O；②如果BB'=【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．31．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）

32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD=AC，延长CD交OB的延长线于点E．(1)求证：CD是圆的切线；(2)已知sin∠OCD=45，AB=433．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,1，B−4,0，C−2,2．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°(1)请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1_________，(2)求点B旋转到点B134．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．35．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．

第28讲与圆有关的计算答案解析题型过关练题型01求正多边形中心角1．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在DE上，则∠CFD＝_____度．【答案】36．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5∴∠CFD=12∠COD故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．3．（2022·江苏扬州·扬州教育学院附中校考二模）如图，在正十边形A1A2A3A4A【答案】54【分析】设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后运用圆周角定理解答即可．【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，∵正十边形的各边都相等∴∠A7OA4=310∴∠A4A故填54．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答本题的关键．题型02求正多边的边数4．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．【答案】5【详解】解：∵中心角的度数=360°n72°=360°nn=5，故答案为：5．5．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．【答案】6【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求解即可．【详解】∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，∴正n边形的一个内角=180°×（n−2）n∵正n边形的中心角=360°∴180°×（n−2）n=解得：n=6．故答案为6．【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．6．（2022·广东深圳·统考二模）一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面积为2π，则这个正多边形的边数是______．【答案】8【分析】设∠AOB=n°，利用扇形面积公式列方程nπ×42360【详解】解：设∠AOB=n°，∵扇形OAB的面积为2π，半径为4，∴nπ×4∴n=45°，∴360°÷45°=8，∴这个正多边形的边数是8，故答案为8．【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形面积，圆心角，掌握正多边形与圆的性质，扇形面积公式，圆心角是解题关键．题型03正多边形与圆中求角度7．（2022·山东青岛·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为（

）A．54° B．60° C．71° D．72°【答案】D【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形内角和求出∠ABE=12【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠A=∠ABC=155−2×180°=108°，AB∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=12∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=108°−36°=72°．故选：D．【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键．8．（2022·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝(6−2)×180∘6＝120°，BC∴∠CBD＝12故选A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．9．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG,OK，分别与AB,CB，相交于点M，N，当∠GOK+∠ABC=180A．∠GOK=60° B．MB+NB=DCC．S四边形OMBN=112S【答案】C【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．【详解】解：如下图所示，连接OA，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴OA=OB=OC，∠FAB=∠ABC=180°×6−26=120∘，∴∠OAM=180∘−∠AOB∴∠OAM=∠OBN．∵∠GOK+∠ABC=180∴∠OMB+∠ONB=360∘−(∠GOK+∠ABC)=故A选项不符合题意．∵∠OMA+∠OMB=180∴∠OMA=∠ONB．∴△OAM≌△OBN（AAS）．∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，故D选项不符合题意．∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．故B选项不符合题意．∴S四边形∴S四边形故C选项符合题意．故选：C【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．10．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．【答案】72°【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键．题型04正多边形与圆中求面积11．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:1【答案】A【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点O作OH⊥CD于点H，OG⊥AF于点G，根据题意，正六边形纸片边长为2a，即CD=2a，∴OC=OD=CD=2a，∵OH⊥CD，∴CH=DH=1∴在Rt△OCH中，OH=同理，OG=3∴S△OCD∴正六边形的面积=6×3∵将上面一张纸片六边形A'B'又∵GH=OG+OH=23∴阴影部分的面积=a×23∴空白部分与阴影部分面积之比是=63故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,SA．S1+S2=2S3 B．【答案】B【分析】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,S2,【详解】解：正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1则有S3=1∴S3故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）边长为a的正方形的对称轴有____________条，这个正方形的外接圆的面积是____________．【答案】41【分析】正方形的对称轴有4条，然后根据正方形的对角线长就是外接圆的直径求得外接圆的半径，从而计算面积即可．【详解】任何正方形的对称轴都有4条；∵正方形的边长为a，∴正方形的对角线长为：2a∵正方形的对角线是正方形的外接圆的半径，∴正方形的外接圆的半径为22∴正方形的外接圆的面积为：πr故答案为：4，12【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是弄清正多边形的有关元素与圆的关系，如本题中的外接圆的半径就是正方形对角线长的一半．14．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是3，则阴影部分的面积是___________．【答案】4π−6【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出∠DOE=60°，进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出半径OD，边长DE，再根据面积公式求出正六边形ABCDEF的面积，最后由阴影部分的面积等于圆的面积减去正六边形【详解】解：如图，连接OD，OE，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠DOE=∵OD=OE∴△DOE是正三角形，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是3，∴OD=OMsin60∴S∴S故答案为4【点睛】本题考查正多边形面积与圆面积的计算，掌握圆内接正六边形的性质以及圆的面积的计算方法是解决问题的关键15．（2022·四川成都·校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积.【答案】它的内接正三角形的边长为203，面积为【分析】作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接OB，根据正三角形的性质，得出∠OBD=30°，再根据锐角三角函数的定义，得出BD的长，再根据垂径定理，得出BC=2BD，从而求正三角形的边长，再根据锐角三角函数的定义，求出AD的长，进而得出其面积．【详解】解：如图，作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接OB，∵半径为20的圆的内接正三角形，∴OB=20，∵AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=30°，又∵BO=OA，∴∠ABO=30°，∴∠OBD=30°，在Rt△OBD∴BD=cos∵BD=CD，∴BC=2BD=203∴AD=AB⋅sin∴S∴它的内接正三角形的边长为203，面积为300【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，根据正三角形的性质得出∠OBD=30°是解题关键．题型05正多边形与圆中求周长16．（2022·河北唐山·统考二模）如图，有公共顶点O的两个边长为5的正五边形（不重叠），以点O为圆心，5为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的周长为（

）A．4π B．4πC．10π D．10π【答案】B【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角和，可求得每个内角的度数，则可求得阴影部分的度数，再利用圆弧的周长计算公式即可求得答案．【详解】解：正五边形的内角和为：(n−2)⋅180°=(5−2)×180°=540°，∴每个角为540°÷5=108°，则图中阴影部分的度数为：360°−2×108°=144°，则圆弧的长：144360∴“蘑菇”形图案的周长为：4π+4×5=4π+20，故选B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆弧的周长计算，解题的关键是熟练掌握圆弧的周长计算公式．17．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，∠ACB的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm【答案】C【分析】证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论．【详解】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，∴ADAB∵AB=AC=10cm，∴AD=6.18（cm），∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，∴BC=CD=AD=6.18（cm），∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．18．（2022·云南昆明·统考二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈lA．l12=24RsinC．l12=24Rsin【答案】A【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可．【详解】解：∵十二边形A1∴∠A∵OM⊥A1A2于∴∠A∵正n边形的周长=n⋅2Rsin∴圆内接正十二边形的周长l12故选：A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键．19．（2022·浙江·统考二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图2所示．当∠CBD=74°时：(1)求A离纸面CD的距离．(2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【答案】(1)52.8(2)403.2mm【分析】（1）连接CD，过点B点作BE⊥CD，垂足为E，根据等边三角形的性质求得∠CBE=37°，解直角三角形CBE，分别求得CE,BE，根据AE=AB+BE，即可求解．（2）根据正六边形的性质，正六边形的边长等于半径，等于CD的长，即可求得正六边形的周长．【详解】（1）如图，连接CD，过点B点作BE⊥CD，垂足为E，∵BC=BD，∴CE=DE,∠CBE=∠DBE=1∴BE=BC⋅cos∴AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm即A离纸面CD的距离为52.8mm（2）∵CE=BC⋅sin∴CD=2CE=67.2mm．∵正六边形的边长等于外接圆的半径，则正六边形周长=6CD=6×67.2=403.2mm．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．题型06正多边形与圆中求边心距、边长20．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）半径为2的圆内接正六角形的边长是（）A．1 B．2 C．3 D．23【答案】B【分析】根据正六边形的性质可知∠COD=60°，再根据等边三角形的判定与性质可知OC=OD=CD进而即可解答．【详解】解：如图，连接OC、OD，

∵正六边形ABCDEF内接于圆O，∴∠COD=360°∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∵OC=OD=2，∴CD=2，故选B．【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2022·河南信阳·统考三模）如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（

）A．2cm B．3cm C．1cm D．3cm【答案】A【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可．【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值33设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=3a（cm）∴2a×3a÷2=33（cm）∴a2=3∴a=3（cm）或a=-3（舍）∵正六边形的每个内角均为120°∴∠ABG=12∴在Rt△ABG中，AGAB=sin∴3∴AB=2（cm）∴正六边形的边长为2cm故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键．22．（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是______．【答案】3【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出BM=12BC=3【详解】解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示：∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形，∴∠BOC=1∵OB=OC，∴Δ∴OB=OC=BC=6，∵OM⊥BC，∴BM=1∴OM=O即弦心距是33故答案为：33【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2022·陕西西安·校考模拟预测）某正多边形的边心距3，半径为2，则该正多边形的面积为_____．【答案】6【分析】根据题意画出图形，得出OE⊥AB，OE=3，OA=2，OA=OB，求出∠AOB=2∠AOE=60°【详解】解：如图所示：由题意可得，OE⊥AB，OE=3，OA=2，OA=OB则cos∠AOE=故∠AOE=30°，∴AE=1∴∠AOB=2∠AOE=60°，AB=2AE=2，∵360°60°∴正多边形是正六边形，则该正多边形的面积为：6×1故答案为：63【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，正多边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明正多边形是正六边形．24．（2022·辽宁沈阳·统考二模）半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________．【答案】3【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°的直角三角形的性质得出OD即可．【详解】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODC=90°，∵∠BOC=13×360°=120°，OB=∴∠OBC=∠OCB=30°，∴OD=1即边心距为3，故答案为：3．

【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形来解答．题型07正多边形与圆中求线段长25．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（

）A．22+2 B．4 C．2+【答案】A【分析】标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定∠DAB=∠ABC=90°，根据多边形的内角和定理确定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定EF∥AB，根据平行线的性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理求出GA和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度．【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H．根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴．∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径．∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心．∴OA=OB=OC=OD．∴四边形ABCD是平行四边形．∴四边形ABCD是矩形．∴∠BAD=∠ABC=90°．∵正八边形的边长为2，∴AE=EF=FB=2，∠DAE=∠AEF=∠FBC=180°×∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．∴∠AEF+∠GAE=180°．∴EF∥AB．∴∠EGH+∠GEF=180°．∵EG⊥AB，FH⊥AB，∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，AE2=G∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．∴22=GA∴GA=2，HB=∴AB=GA+GH+HB=22故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，多边形的内角和定理，矩形的判定定理和性质，平行线的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．26．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（

）A．AE∥BF B．AF∥CD C．【答案】C【分析】连接OA、OB、AD，根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E=5−2×180°5∴∠CBD=∠CDB=1∴∠ABD=108°−36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥连接AD，过点A作AH⊥DF于点H，则∠AHF=∠AHD=90°，∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°−36°−36°=36°=∠F，∴AD=AF，故C符合题意；连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1∵FA相切于⊙O，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°−54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°−36°=∠FAB，∴AB=BF，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．27．（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（

）A．211−2 B．213−2 【答案】B【分析】取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，先求出BD=43，然后根据∠APB=90°，得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当D、P、G三点共线时，DP【详解】解：取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD=6−2∴BH=DH，∴DH=CD⋅sin∴BD=43∵∠APB=90°，∴点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，∴当D、P、G三点共线时，DP有最小值，在Rt△BDG中，DG=B∴PD=DG−PG=213故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最值问题，确定当D、P、G三点共线时，DP有最小值是解题的关键．28．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则AMCM的值为______【答案】2【分析】根据多边形的内角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度数，再根据等腰三角形的性质证明BM=CM，∠ABM=90°,设BM=a,则CM=a,则AM=2a,从而可得答案．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD=∠ABC=16（6-2）×180°=120°，AB=BC=CD∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=12∴CM=BM,∠ABM=90°，设BM=a,则CM=a,∴AM=2BM=2a,∴AM故答案为2．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角以及等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．题型08正多边形与圆的规律问题29．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，，重复上述过程，经过2018次后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（

）A．(2)2016倍 B．(3)2017倍 C．【答案】C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2018次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD为等边三角形，∴BD=12AC∴△ABC是直角三角形又∵BC=12AC∴∠2=30°，∴AB=3BC=3CD，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（3）2倍，∴经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（3）2018，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是熟知正多边形内角的性质及直角三角形的判定定理，此题有一定的难度．30．（2022·广东湛江·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为______．【答案】−【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥∴AP=1，∴OP=A∴第1次旋转结束时，点A的坐标为3,−1第2次旋转结束时，点A的坐标为−1,−3第3次旋转结束时，点A的坐标为−3第4次旋转结束时，点A的坐标为1,3∴4次一个循环，∵2023÷4=∴第2023次旋转结束时，点A的坐标为−3故答案为：−3【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．31．（2022·广东·模拟预测）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（）A．（−32，−3） B．（32，−332） C．（−3，【答案】A【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6=337⋅⋅⋅3，推出经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3【详解】解：如图，连接AD，BD．在正六边形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∠ABD=90°，∴BD=A在RtΔAOF中，AF=1，∴∠OFA=30°，∴OA=1∴OB=OA+AB=3∴D(32，∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴6次一个循环，∵2025÷6=337⋅⋅⋅3，∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3∵D与D3∴D3(−∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标(−32，故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．题型09求弧长32．（2022·山东枣庄·统考三模）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB=60°，则劣弧AB的长是（

）A．8πcm B．16πcm C．32πcm【答案】B【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可．【详解】解：∵AC与BC是圆的切线，∴OA⊥AC，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，∵∠C=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OB=24cm,∴lAB=120×π×24故选择B．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键．33．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（AB）的长度为（

A．20πm B．30πm C．40πm【答案】C【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB）的长度．【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，∴这段弯路（AB）的长度为：80π×90180故选C【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式l=34．（2022·广东中山·统考一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°