专题08 圆的对称性压轴题六种模型全攻略（解析版）

专题08圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用垂径定理求值】 1【考点二利用垂径定理求平行弦问题】 4【考点三利用垂径定理求同心圆问题】 7【考点四利用垂径定理求解其他问题】 10【考点五垂径定理的推论】 13【考点六垂径定理的实际应用】 15【过关检测】 18【典型例题】【考点一利用垂径定理求值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【答案】【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．【详解】解：连接，

∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．【答案】【分析】过点作于点H，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圆心到的距离．【详解】解：如图，的半径为，弦的长为，过点作于点H，

则，，∴，即圆心到的距离为，故答案为：【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点二利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离；所以与之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12−5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点三利用垂径定理求同心圆问题】例题：如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为．

【答案】5【分析】先设大圆半径为R，小圆半径为r，的长度为．连结、、、，然后过点分别作交于点，交于点，根据垂径定理和勾股定理，得，，即，则，同理得，则，即可作答．【详解】解：设大圆半径为R，小圆半径为r，的长度为．连结、、、，然后过点分别作交于点，交于点，如图所示：

由垂径定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，则，那么，在和，由勾股定理得，，即，则，那么，因为，所以，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解出和是本题解题的关键，难度适中．【变式训练】1．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，则解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，由垂径定理可得∴∴（2）解：连接，如图2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圆的半径r为．【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【考点四利用垂径定理求解其他问题】例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．【变式训练】1．如图是一破损了的圆形零件的设计图，请你根据所学的有关知识将设计图恢复完整．

【答案】见解析【分析】在弧上任取三点，，，连接，，分别做，的中垂线交于点，以点O为圆心，长为半径作圆即可．【详解】解：如图即为所作的圆．

【点睛】本题考查了复杂作图及垂径定理，解决本题的关键是掌握：弦的垂直平分线经过圆心．2．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．【答案】(1)画图，理由见解析(2)画图见解析【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析；（2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论．【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；

证明：∵M是半圆的中点，∴，∴直径直径，∴，∴，即平分．（2）如图2中，射线即为所求．

【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【答案】【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接，设的半径为R，则，由题意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，则的半径为米．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米．由题意得厘米，在中，厘米，∴厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【答案】【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，，，为的半径，∴，设半径为，则，在中，，∴，解得：，∴直径为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴，，但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．

(1)求该圆弧形拱桥的半径；(2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？【答案】(1)(2)可以顺利通过，见解析【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度是解决问题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，连接，设，得：解得：，∴圆弧形拱桥的半径为；（2）∵，，∴，且，

∴，.连接，则，

∴，即：，∴该货船可以顺利通过．【过关检测】一、单选题1．如图，的半径为5，于点C，若，则弦的长为（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由垂径定理得：，根据勾股定理，可以求出的长，从而得的长．【详解】解：∵于点C，，∵的半径是5，，又，在中，，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理可以把半径，弦心距，弦长之间的计算转化为解直角三角形．2．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽（相邻两边互相垂直）内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、、，根据题意可得，，再根据垂径定理得到，设，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．【详解】解：连接、、，交于点H，如图所示：由题可得，，，，设，则，在中，，，解得，即，∴铁球的直径为．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．3．已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．【详解】解：当弦、在半径的同侧时，如图，过O作于D，则，，∵，∴，∴；∵，∴，∴；当弦、在半径的异侧时，如图，同理可求得，，则，即的度数为或；故选：C．4．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出，再根据三角形面积公式进行计算即可．【详解】∵是的直径，∴，∵，是的半径，∴，∵，∴是的中位线，∴，由于，可设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），即，∴，，，故选：．【点睛】此题考查了垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出的长是解题的关键．5．已知圆中两条平行的弦之间距离为，其中一弦长为，若半径为，则另一弦长为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意可知直径是，由此分类讨论，①如图所示，在的上方；②如图所示，在的下方；运用垂径定理，勾股定理，图形结合分析即可求解．【详解】解：∵圆的半径为，∴圆的直径是，①如图所示，在的上方，，，连接，∴，，在中，，∴，在中，，∴；②如图所示，在的下方，，，连接，∴，，在中，，∴；综上所述，另一弦长为或，故选：．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，掌握勾股定理，垂径定理的运用是解题的关键．二、填空题6．如图，已知的弦，半径于，，则的半径为．

【答案】5【分析】由垂径定理可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．【详解】解：，，，设，则，在中，，即，解得：，的半径为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．7．如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长．

【答案】【分析】如图，由折叠知，,，于是．．垂径定理，得．中，，得．【详解】解：如图，由折叠知，,∵∴．∴．∴．∵，∴．中，．∴．

故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，垂径定理，勾股定理，构建直角三角形运用勾股定理是解题的关键．8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为寸．【答案】26【分析】证明E为的中点，可得，设，则，，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案．【详解】解：∵弦，为的直径，∴E为的中点，又∵（寸），∴（寸），设（寸），则（寸），寸，由勾股定理得：，即，解得，∴（寸），故答案为：26．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键．9．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为．【答案】【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵，为的半径，其值一定，∴当最小时，最大，∵∴当最小时，最大，∵点C在上移动，∴当时，最小此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合，∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键．10．图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中，，为伸缩杆，其中，支架最大宽度，支架的高为，则外接圆O的半径为，当一部宽为的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同（），形成的外接圆的圆心为点P，若，则为cm．

【答案】【分析】延长与交于点，根据对称的性质可得，，设的半径为，根据勾股定理即可求解得到半径；延长与交于点，与交于点，根据对称的性质可得，，，，根据题意可得，推得，求得，，根据勾股定理求得，设，则，，根据勾股定理列方程，求解即可得出答案．【详解】解：延长与交于点，如图：

根据题意可得，点与点关于对称，∴，，设的半径为，则，在中，，即，解得：；延长与交于点，与交于点，连接，如图：

根据题意可得，点与点关于对称，点与点关于对称，∴，，，，∵，，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴，在中，，设，则，，在中，，即，解得：，即的值为．故答案为：，．【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题11．如图，割线与交于点A，B，割线过圆心O，且，若弦，的半径，求的长．

【答案】的长为13【分析】作于点，根据垂径定理可得出，在中利用勾股定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质可求得，即可求得PC．【详解】解：如图，作于点，

则，在中，，在中，，∴，∴，∴的长为13．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键．12．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．

(1)求的半径长；(2)连接，作于点F，求的长．【答案】(1)5(2)【分析】（1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；（2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r，∵，∴，，在中，，，，∴，解得，即的半径长为5；

（2）解：在中，，，∴，∵，∴，，在中，，即的长为．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．13．将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理的推论，分别作弦和的垂直平分线，两垂直平分线交点即为所求；（2）连接，，利用垂径定理推论和勾股定理可求出圆片的半径．【详解】（1）解：如图，分别作垂直平分、垂直平分，交于点，∴和都经过弧所在圆的圆心，∴点为该轮子的圆心．则点即为所作．（2）如图，连接交于，连接，∵点是的中点，，∴，，∵点到的距离是，轮子的半径，∴，∵，，在中，，∴，解得：，∴轮子的半径为．【点睛】本题考查垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．掌握垂径定理的推论是解题的关键．14．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；(2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？【答案】(1)该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米(2)此货船不能顺利通过这座桥【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；（2）易得米，构造如图所示矩形，连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出，再与米进行比较即可．【详解】（1）解：连接，

∵，，∴，设，∵，∴，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．（2）解：∵米，，∴米，构造如图所示矩形，连接，当时