专题06 直接开平方法和配方法解一元二次方程压轴题五种模型全攻略(解析版)

专题06直接开平方法和配方法解一元二次方程压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一解一元二次方程——直接开平方法】 1【考点二配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 3【考点三配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 4【考点四用配方法解一元二次方程错解复原】 6【考点五利用配方法求多项式的最值问题】 9【过关检测】 12【典型例题】【考点一解一元二次方程——直接开平方法】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：．【答案】，【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得，开平方得，解得，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：【答案】，【分析】首先将方程整理为，然后直接开方求解即可．【详解】解：∴∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．2．（2023·江苏·九年级假期作业）解关于的方程：．【答案】，【分析】变形后利用直接开方法解方程即可．【详解】整理得：，∴，∴或，∴，．【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可．3．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：(1)(2x﹣3)2=9(2)(3x﹣1)2=(x+1)2．【答案】(1)x1=3，x2=0；(2)x1=1，x2=0【分析】（1）直接开方即可求解；（2）直接开方即可求解．【详解】（1）直接开平方，得：2x-3=±3，∴2x-3=3或2x-3=-3，∴x1=3，x2=0；（2）直接开平方，得：3x-1=x+1，或3x-1=-(x+1)，∴2x=2，或4x=0，解得：x1=1，x2=0．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方根的含义是解答本题的关键．【考点二配方法解二次项系数为1的一元二次方程】例题：（2023·全国·九年级专题练习）解方程：x2﹣4x+2＝0．【答案】【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解方程即可．【详解】解：x2﹣4x+2＝0移项得，配方得，即，∴，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键，此题也可以用公式法解方程．【变式训练】1．（2023秋·湖南衡阳·九年级统考期末）解方程：【答案】，．【分析】根据配方法即可求解．【详解】∴，．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是配方法的应用．2．（2023秋·福建厦门·九年级统考期末）解方程：．【答案】【分析】利用配方法解方程．【详解】∴．【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键．3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）解方程：．【答案】，．【分析】根据一元二次方程的解题步骤来解即可．【详解】解：方程可化为：，，，∴，解得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握方程的解题步骤并灵活运用是解题的关键．4．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【考点三配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】例题：（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）用配方法解方程：【答案】，【分析】先把常数项移到等式右边，再把二次项系数化为“1”，在等式两边同时加上，左边凑成完全平方的形式．【详解】解：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）利用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】所以原方程的解为，．故答案为，．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：．【答案】或【分析】根据配方法的步骤先两边都除以2，再移项，再配方，最后开方即可得出答案．【详解】原方程变形为：配方得即或所以原方程得解为或【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3．（2023春·八年级课时练习）用配方法解下列关于x的方程（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果；（2）根据配方法，先把二次项系数化为1，然后把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果．【详解】（1），；（2），．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的方法．4．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解；（2）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解．【详解】（1）解：，；（2）解：，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．【考点四用配方法解一元二次方程错解复原】例题：（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程：解：移项得配方：开平方得：移项：所以：，圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】有错误，过程见解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：，配方：，，开平方得：，移项：，所以：，．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．【变式训练】1.（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程的过程如下：解：①②③④．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)B(2)②，等号右边没有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法进行判断；（2）第2步方程两边都加上4，则可判断从②步开始出现了错误；（3）利用配方法解方程的基本步骤解方程．【详解】（1）解：佳佳解方程的方法为配方法；故选：B；（2）解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上9；故答案为：②；等号右边没有加9；（3）解：正确解答为：解：，移项得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．2.（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程：．小明同学的解题过程如下：解：，小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【答案】错误，见解析【分析】运用配方法解答该方程即可判定正误．【详解】解：错误，正确解法如下：解得，．【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解答本题的关键．【考点五利用配方法求多项式的最值问题】例题：（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：．(2)求多项式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案．【详解】（1）解：原式．（2）解：，，，多项式的最小值为．【点睛】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键．【变式训练】1.（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式的最小值为（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【详解】代数式∵，∴即代数式，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．2.（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因为，所以当时，M有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根据非负数的性质确定M的最小值．【详解】（1）解：，故答案为：16；（2）解：；（3）解：∵，∴当时，M有最小值．【点睛】本题考查了因式分解−配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直接开平方解方程即可．【详解】，所以，．故选：D．【点睛】本题考查直接开平方解一元二次方程，关键是理解平方根的意义．2．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】移项，得，方程两边同时加上4，得，配方得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的左边是一个完全平方式，则m等于（）A． B．或4 C．或 D．4【答案】B【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解．【详解】解：根据题意得：，解得，故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（

）解：……①……②……③，…④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤．【详解】解：出错的步骤是③，应该是在②步的基础上，两边同时加上4，得，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．5．（2023·全国·九年级假期作业）将代数式配方后，发现它的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】原式利用完全平方公式配方后，即可确定最小值．【详解】解：，当时，代数式有最小值为，故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2023·全国·九年级专题练习）方程的根是．【答案】【分析】形如的一元二次方程，可直接采用开平方法解得，进而得出方程的根.【详解】解：∵，即，解得故答案为：.【点睛】此题主要考查形如的一元二次方程的解法，熟练掌握开平方法是解题的关键.7．（2023·全国·九年级专题练习）方程的解是．【答案】【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方的方法是解题的关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）填空：（1）．（2）．（3）．【答案】16366【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：得出结论．【详解】解：（1）．故答案为：①16；（2）故答案为：②；（3）故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小．9．（2023春·八年级课时练习）当时，代数式有最小值为．【答案】3【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．【详解】解：，当时代数式取得最小值，最小值为，即时，代数式的最小值为，故答案为：3；．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．10．（2023·江苏·九年级假期作业）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则AB（填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B的差，再将差用配方法变形为A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．三、解答题11．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】，【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可求解．【详解】解：，∴，∴，∴或，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（2023春·上海虹口·七年级校联考期末）解方程：．【答案】【分析】利用配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求解.【详解】解：配方得：即开方得：【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的形式选择合适的方法求解．13．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解方程．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，，即，∴，解得：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．14．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，．【分析】（1）方程移项后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解．【详解】（1）解：方程移项得：，开方得：或，解得：，．（2）解：方程移项得：，配方得：，即：开方得：或，解得：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把二次项系数化为1，再根据题意，利用配方法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，然后根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：二次项系数化为1，，，∴，∴，解得：；（2）解：，化为一般形式，，二次项系数化为1，，，即，∴，解得：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：(1)．(2)．(3)(4)．【答案】(1)(2)，(3)，(4)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解；（3）根据配方法解一元二次方程即可求解；（4）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：∴即，解得（2）解：即，解得（3）解：，∴，解得，；（4）解：∴，∴，∴，解得．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小聪同学用配