二次函数实际应用的四种考法（原卷版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题04二次函数实际应用的四种考法类型一、销售利润问题例．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．(1)设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，；(2)当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？(3)请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？【变式训练1】．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若双肩包定价为110元，则一个月的销售量为300个，若每降价1元，则每个月可以多销售10个．设这种双肩包的单价为元，一个月的销售利润为元．(1)求与之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)该商店热心公益事业，决定从这种双肩包每月的利润中捐出1750元给希望工程，为了保证捐款后每月剩余利润不低于12000元，求销售单价的范围．【变式训练2】．大锦农某品种苹果，进价为10元/千克，根据张丽同学调研发现：每天销量(千克)与销售单价(元/千克)存在一次函数关系．

(1)求与之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；(2)怎样确定销售价才能使该品种苹果每天销售利润最大？最大利润为多少？【变式训练3】．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售产品的一些数据．销售价格（单位：元件）25303238销售件数（单位：件）35302822销售成本（单位：元）210180168132(1)直接写出与之间的函数关系式；(2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？(3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元件时，一天可获得的利润为600元，求的值．【变式训练4】．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?类型二、喷水问题例．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m．

(1)求水管的长度．(2)如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，画出点所在的抛物线的草图，并直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．(3)将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离．【变式训练1】．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．

(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：02610120①根据上述数据，求满足的函数关系；②求喷水头喷出的水柱最大高度；(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围_________．【变式训练2】．为应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能演习．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A至16m的点B处，设置了一个火源段（含点A与点B），消防员站在高楼前且与高楼水平距离为t米位置使用高压水枪灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分，且每次水流所在抛物线的形状完全相同．水流达到火源段（线段）中某一处，则视为有效灭火．如图1，消防员甲灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为18m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．

(1)求消防员甲灭火时水流所在抛物线的解析式；(2)如图2，消防员乙站在水平地面的点D处进行灭火，此时，请判断他是否有效灭火，并说明理由；(3)若要有效灭火，请直接写出t的取值范围．【变式训练3】．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．

(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．类型三、拱桥问题例．如图1是某公园内的一座拱桥．如图2是其桥拱的截面示意图，可视为抛物线的一部分．某时测得桥拱内的水面宽，桥拱顶点C到水面的距离是．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．

(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．(2)为迎佳节，拟在图1桥拱内壁上悬挂长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于，请确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．(3)桥拱截面所在抛物线在轴下方的部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象，如图3．将图象G向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y随x的增大而减小，请直接写出的取值范围．【变式训练1】．如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表：x（米）－6－4－20246y（米）－3.02－1.33－0.310－0.32－1.33－2.99(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．【变式训练2】．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米．现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【变式训练3】．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是多少米？（精确到1米）【变式训练4】．如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大值．类型四、图形运动问题例．如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练1】．如图，在中，，E是边上一动点，沿A→C→B的路径移动，过点E作，垂足为D．设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式训练2】．如图，正方形边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为s，为x，则s关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练3】．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：s）四边形的面积为（单位：），则与（）之间的函数图象大致是下列图中的（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练4】．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

课后作业1．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

2．如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则能反映y与x之间关系的图象是（）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（

）

A． B． C． D．4．某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据；在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．（米）（米）请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度为m；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于0.5米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．5．如图，在平面直角坐标系中画出某水利工程公司开挖的水渠横截面，该水渠呈抛物线形，其宽度米．某日，当水渠内的水面宽度为24米时，水面与两岸的竖直高度为米．

(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)若水渠中原水面的宽度减少为原来的一半，则水渠最深处到水面的距离减少多少米？6．如图，某小区准备用总长的篱笆围成一块矩形花圃．为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆与将矩形分割成三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设．

(1)填空：__________m．（用含x的代数式表示）(2)当矩形区域①