第六章：数列（模块综合调研卷）（A4版-教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第六章：数列（模块综合调研卷）（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列中，，，则（

）A．600 B．608 C．612 D．620【答案】B【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式并求出和.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，因此，，显然构成等差数列，所以.故选：B2．设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；【详解】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；由，得，即，所以，解得，则.故选：C.法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，所以，所以.故选：C.3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解.【详解】由题意，因为在时取得极值，所以，解得或，当，时，，所以在上单调递增，不合题意，当，时，，所以时，，时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，满足题意，所以，又，，同号，所以.故选：.4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解.【详解】由，可得，因为数列，都是等差数列，所以不妨令，所以，，所以.故选：C5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得.【详解】当时，，解得；当时，由，得，两式相减得，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，可得，所以；因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立，即，即恒成立，因为时，取得最小值3，故，即的取值范围是.故选：C.6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【答案】B【分析】根据“角谷猜想”的规则，由倒推的值.【详解】由题知，因为，则有：若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；若为奇数，则，可得；若为偶数，则.综上所述：或32.故选：B7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（

）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值【答案】A【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，，则，解得，令，可得，此时满足只有成立；若，则，（1）若为奇数，则，不满足；（2）若为偶数，则，且，即，可得，即不成立；综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.故选：A.8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据定义求得数列的递推公式，然后代入可得的递推公式，根据递推公式可知为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】由可得，，，则两边取对数可得.即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为递增数列 D．为周期数列【答案】BCD【分析】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．【详解】解：由题意，数列满足，，当时，，当时，，A错误；当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数，则，，，；若为偶数，则，为奇数，，为偶数，则，，，.所以数列是以4为周期的周期数列.故，B正确：又由，故递增，C正确；由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确．故选：BCD．10．已知数列满足，，则（

）A．数列单调递减 B．C． D．【答案】ABD【分析】对A：通过计算得到，则有，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对C：通过计算、找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.【详解】对A选项：由，，则，依次类推可得当时，有，故，故数列单调递减，即A正确；对B选项：由，则，由，当时，，故，即，故B正确；对C选项：，则，，即，故C错误；对D选项：由，故，即，故有，，，，累加有，即，故，，故，即有，又，故当时，，，，，又，累加有，，即，即，故，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D.【详解】根据图形生成的规律可知，，，，故A正确；，，，故B正确；根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，所以当故C错误；根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，，故D正确．故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为:，其前项和为，若成等比数列，则k=【答案】6【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案.【详解】因为成等比数列，所以，由于数列的通项公式为:，故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为，所以，所以(舍去负值)，所以(舍去负值)，故答案为：613．已知数列中，，，若，则数列的前项和.【答案】【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和.【详解】由，有，，两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，则，所以，所以.故答案为：.14．已知函数，数列满足，，，则．【答案】2【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：的定义域为，且，即，可知为定义在上的奇函数；且，因为在上单调递增，可知在上单调递增；综上所述：在上单调递增，且为奇函数.因为，则，可得，即，由可知：3为数列的周期，则，且，所以.故答案为：2.【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．数列满足，且(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列.（2）利用等比数列求和公式化简即可.【详解】（1）由已知，，所以故，又因为，所以所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）由（1）知，令，所以所以故16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．(1)求，，；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，，10507(2)【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得；（2）由（1）可知，，再利用分组转化，以及错位相减法求和.【详解】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以当时，，所以，，两式相减可得，，∴；（2）由（1）可知，，设，当时，数列的前项和为28，当，数列的前项和为，设

，两式相减得，，解得：，，所以，，所以.17．已知数列中，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.【详解】（1）两边同时除以，数列是首项，公差为2的等差数列，，.（2），可得，，即，即恒成立..18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．(1)求，的通项公式；(2)已知，求：；(3)求证：．【答案】(1)，(2)(3)证明见详解【分析】（1）由题意可得数列为等差数列，数列为等比数列，再分别求解公差与公比即可求；（2）代入化简可得，再分组根据错位相减与裂项相消求和即可；（3）放缩可得，再裂项相消求和即可.【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，设公差为，因为，所以数列为等比数列，设公比为，且，因为，，，所以，即，解得，所以，.（2）由（1）可知，由，记作差,得:所以,∴.（3）令，因为，且，所以成立；因为，所以，因为，所以，故，综上，所以.19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．(1)证明：；(2)若，证明：；(3)若，，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到；法二：由得到；（2）法一：由题意得，从而得到，证明出；法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立；法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论；（3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得：，∴，∴，，，，，将以上式子累乘得：，也即成立．法二：由题意得：，∴，∴成立．（2）法一：∵，∴，∴，则，∴，∴．法二：考虑反证法，假设，由得，∴，∴，同理：，∴，∴