第08讲 利用洛必达法则解决导数问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第08讲利用洛必达法则解决导数问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数问题2能用洛必达法则解决极限等问题【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式说明，能备考使用即可.知识讲解洛必达法则：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.将上面公式中的换成洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理型。3.在着手求极限前,首先要检查是否满足,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。,如满足条件,可继续使用洛必达法则。考点一、洛必达法则的直接应用1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据洛必达法则求解即可.【详解】.故选：B2．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造，再结合即可得到结果；（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.【详解】（1）设，由于，所以不成立，故不是区间上的2阶无穷递降函数.（2）设，则，设，则，所以，得.（3）令，则原不等式等价于，即证，记，则，所以，即有对任意，均有，所以，因为，所以，所以，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.1．（21-22高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．【答案】/0.5【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.【详解】故答案为：2．（21-22高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．【答案】2【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.【详解】由题可得.故答案为：2.3．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：①且（或，）；②在点的附近区域内两者都可导，且；③（可为实数，也可为），则．(1)用洛必达法则求；(2)函数（，），判断并说明的零点个数；(3)已知，，，求的解析式．参考公式：，．【答案】(1)(2)仅在时存在1个零点，理由见解析(3)【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数，结合的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）（2），，所以，．当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，，当时，，所以仅在时存在1个零点．（3），所以，，…，将各式相乘得，两侧同时运算极限，所以，即，令，原式可化为，又，由（1）得，故，由题意函数的定义域为，综上，【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限.考点二、利用洛必达法则解决函数综合问题1．（全国高考）已知恒成立,求的取值范围解:记,则则所以,在单调递增,且所以时,时,即在上单调递减,在上单调递增所以所以分析上式中求用了洛必达法则当时,分子,分母,符合不定形式,所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范围解:记,则则所以,当时,单调递减,所以即所以所以所以3．（全国高考）恒成立,求的取值范围解:记,则记则所以,在单调递增,所以所以,在单调递增,所以即在上,所以在上单调递增所以所以1．若不等式对于恒成立，求的取值范围.【答案】【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围.【详解】当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即趋向于0时，趋向，即有.故时，不等式对于恒成立.2．已知函数.(1)若在时有极值，求函数的解析式；(2)当时，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可；小问2：根据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数分析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.【详解】（1）因为，所以，由在处取极值，得，求得，当时，；当时，；则在时有极大值，符合题意，所以；（2）当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以，由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有，综上所述，当，时，成立．3．已知函数.（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的导数，求，斜率为，写出切线的方程，再将点点代入切线方程即可求出实数的值；（2）易知为方程的根，只需证明当和时原方程均没有实数解即可，分别讨论，当时，，，方程的解得情况，以及当时，，，方程的解得情况，即可求出实数的取值范围.【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，又，所以切线的方程为：，即，由经过点可得：.（2）易知为方程的根，由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解若，，，令，故在单调递增，在单调递减故在单调递减从而，，此时方程也无解.若，由，记，则，设，则有恒成立，所以恒成立，故令在上递增，在上递减，可知原方程也无解由上面的分析可知时，，方程均无解.②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解若，和①中的分析同理可知此时方程也无解.若，由，记，则，由①中的分析知，故在恒成立，从而在上单调递增，如果，即，则，要使方程无解，只需，即有如果，即，此时，方程一定有解，不满足.由上面的分析知时，，方程均无解，综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解.【点睛】本题主要考查了导数应用，导数的几何意义，利用导数判断单调性，函数方程转化思想，分类讨论思想，属于难题.4．已知.（1）求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）增区间为，无减区间；（2）.【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间；（2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围；【详解】（1）由解析式知：的定义域为且，令，则∴当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增，即，∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间.（2）解法1：直接求导，分类讨论.对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立.令，则，令，则，由知：，①当，即时，即，即在上单调递减，又，∴时，，即在上单调递减，又，∴时，，符合题意.②若，即，当时，，∴在单调递增，即时，，故不恒成立，不合题意.③若，则恒成立，所以在单调递增.∴时，，即在单调递增，又时，，即恒成立，不合题意.综上所述，的取值范围是.解法2：对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.令，则，记，①当时，，此时，在单调递减，又，所以时，，即对任意，恒成立.②当时，，在上单调递增，又，所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意.③时，不等式化为，显然不成立.④当且时，方程的二根为，，若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立；若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立.综上所述，的取值范围是.解法3：参数分离当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.记，则，记，则，所以在单调递减，又，所以，时，，即，所以在单调递减.所以，综上所述，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合．【答案】的取值集合为【分析】以为分界点对不等式进行讨论，利用导数与函数单调性的关系，以及不等式恒成立的条件即可求解.【详解】恒成立，即．当时显然成立，即．当时，，令，则，令，则，所以递增，所以，所以在上恒成立．所以在上递增，根据洛必达法则得，，所以．同理，当时，．综上所述，的取值集合为．2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值.【详解】∵，∴．∴当时，，即单调递减；当时，，即单调递增．若当时，恒有成立，即恒有成立．当时，不等式恒成立．当时，恒有成立，即，令，则．令，则，进一步，∴在上单调递减，∴．∴在上单调递减，∴．即在上恒成立，∴在上单调递减．∴，∴．综上，的取值范围为．3．（22-23高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若且恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，得到，求出导函数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可得出答案；（2）因为，分离参数可得.构造函数，根据的导函数，得出的单调性，进而得出函数的最大值为，即可得出，进而得出的取值范围.【详解】（1）当时，，，可得，故，所以函数在点处的切线方程为.（2）由已知，所以，由，得.因为，所以上式可化为.令，则，令，则.因为，所以，所以为上的减函数，且，故时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在在上为单调递减.所以，当时，取得极大值，也是最大值.则要使在上恒成立，则应有.又因为，故.4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数(1)当时，求函数的最小值；(2)，，求的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值；（2）分类参数，设，利用导数求函数的最大值，即可得的取值范围.【详解】（1）当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，；（2），，，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，即的取值范围是.5．（21-22高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．【答案】(1)分类讨论见解析(2)2【分析】（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）转化原不等式为在区间内恒成立，令，求导分析单调性，即得解【详解】（1）由题意得的定义域为，，①时，，在内单调递减，②时，令得或（舍）当，单调递减当，，单调递增．（2）由题意得，整理得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，令，则，令，易知在区间内单调递增，又，，故存在唯一的，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数有极大值，也即为最大值，，故，又，故，又a为整数，故a的最小整数值为6．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2).【分析】(1)利用函数的导数的符号，判断函数的单调性，即可求出函数的单调区间.(2)将原不等式进行参变分离得，然后构造函数，从而把不等式问题转化为，求大于或等于函数的最大值问题，即可求出的取值范围.【详解】（1）依题意，令，得，由，得；由，得，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，不等式等价于，设，则，令，得，当在区间内变化时，随的变化情况如下表：0极大值由上表可知，当时，函数在上有唯一极大值，也是其最大值，恒成立等价于，故的取值范围是.7．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：当时，；(3)若对恒成立，求实数k的最大值．【答案】(1)(2)见详解(3)见详解【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.【详解】（1）

，即切线的斜率为，又因为所以切线方程为：，即.（2）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以.（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以.

综上所述，的最大值为.8．（22-23高二下·北京·阶段练习）已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，.(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)证明见详解(3)【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解；（2）当时，恒成立，等价于恒成立，构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得证；（3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立，再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解【详解】（1）由题意，，又由导数的几何意义，，所以在点处的切线方程：，即；（2）当时，恒成立，等价于恒成立，设，则，当时，，所以，即在上为增函数，所以，即恒成立，恒成立，所以当时，，问题得证；（3）若时，恒成立，等价于恒成立，令，则，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故当时，原不等式恒成立.【点睛】利用导函数解不等式常见思路：（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．9．（22-23高三上·江西抚州·期中）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性，(2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：）【答案】(1)答案见解析(2)3【分析】（1）求导，讨论导函数的正负即可；（2）分离参数，当时恒成立即可，设，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解.【详解】（1）由可得.当时，恒成立，在单调递增；当时，令得，所以在单调递减，在单调递增；综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）当时，成立，当时，恒成立即，设，则，令，则，设，当时，，故；当时，，故，综上有，故，故为增函数，又，因为，故，所以，故存在唯一零点使得，故当时单调递减当时，，单调递增，故，又，即，所以设，则，故为增函数，又，所以，所以，故要且为正整数则的最大值为3.【点睛】利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.10．（2023高三·全国·专题练习）设函数，曲线恒与x轴相切于坐标原点．(1)求