第02讲 等差数列及其前n项和（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第02讲等差数列及其前n项和（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第19题,17分等差数列通项公式的基本量计算数列新定义2024年新Ⅱ卷，第12题,5分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和无2024年全国甲卷，第4题,5分等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算等差数列前n项和的基本量计算无2023年新I卷，第7题,5分由递推关系证明数列是等差数列等差数列前n项和的性质充分条件与必要条件的判定2023年新I卷，第20题,12分等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算等差数列前n项和的基本量计算无2023年新Ⅱ卷，第18题,12分利用定义求等差数列通项公式等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和分组(并项)-奇偶项求和2022年新I卷，第17题,10分利用等差数列通项公式求数列中的项利用与关系求通项或项累乘法求数列通项裂项相消法求和2022年新Ⅱ卷，第3题,5分等差数列通项公式的基本量计算数学新文化已知斜率求参数2022年新Ⅱ卷，第17题,10分等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算数列不等式能成立(有解)问题2021年新I卷，第17题,10分利用定义求等差数列通项公式求等差数列前n项和由递推数列研究数列的有关性质分组(并项)-奇偶项求和2021年新Ⅱ卷，第17题,10分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和解不含参数的一元二次不等式2020年新I卷，第14题,5分求等差数列前n项和无2020年新Ⅱ卷，第15题,5分求等差数列前n项和无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分【备考策略】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习知识讲解等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示数学表达式通项公式，，，等差数列通项公式与函数关系令，，等差数列为一次函数等差中项若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项等差数列通项公式的性质（1）若，或（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列等差数列前n项和或等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数等差数列前n项和的性质，，……仍成等差数列为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列证明数列为等差数列的方法（1）（为常数）为等差数列（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）（3）若，则，，三个数成等差数列考点一、等差数列的项、公差及通项公式的求解1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列中，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．82．（2022·河南南阳·三模）已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为.3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（

）A．3 B． C．1 D．4．（2024·山东·二模）已知数列．求：(1)数列的通项公式；(2)数列的前项和的最大值．1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（

）A．21 B．24 C．27 D．293．（2024·陕西安康·模拟预测）在公差为的等差数列中，，则（

）A．1或2 B．1 C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）已知是递增的等差数列，，是方程的根.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．考点二、等差中项的应用1．（23-24高二下·北京怀柔·期中）若，，成等差数列，则的值为（

）A． B． C． D．2．（重庆·高考真题）在等差数列中，若=4，=2，则=A．-1 B．0 C．1 D．61．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为．2．（24-25高二上·上海·课前预习）等差数列的前三项依次为，，，则x的值为．3．（江西·高考真题）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝．考点三、等差数列的性质1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则.2．（北京·高考真题）在等差数列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2024·河南郑州·一模）已知数列为等差数列，，则（

）A．19 B．22 C．25 D．271．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（

）．A．7 B．12 C．16 D．242．（2023·广西南宁·模拟预测）在等差数列中，若，则.3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则.考点四、等差数列前项和的求解1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在等差数列中，公差，为其前项和，若，则（

）A． B．0 C． D．2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和记为，若，，则（

）A．51 B．102 C．119 D．2383．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求．4．（2024·吉林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值．5．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．考点五、等差数列前项和的性质1．（辽宁·高考真题）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．63 B．36 C．45 D．272．（全国·高考真题）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（

）A．130 B．170 C．210 D．2603．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则．4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（

）A． B． C． D．5．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（

）A．2 B．3 C．5 D．61．（陕西·高考真题）等差数列的前项和为，若则等于A．12 B．18 C．24 D．422．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（

）A．16 B．12 C．10 D．83．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．30 B．58 C．60 D．904．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则．5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（

）A． B． C． D． E．均不是考点六、等差数列通项公式与前项和的关系1．（全国·高考真题）设等差数列的公差是d，如果它的前n项和，那么（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.1．（2023·四川达州·统考二模）已知是数列前n项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．考点七、等差数列通项公式与前项和的最值1．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（

）A．9 B．10 C．10或11 D．113．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（

）A．B．C．当时，取最大值D．当时，的最小值为274．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（上海·高考真题）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值3．（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为144．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（

）A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值5．（全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．16．考点八、等差数列中的数学文化1．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（

）斤棉花？A．99 B．116 C．133 D．1502．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)块，则上层有扇形石板块．3．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.1．（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（

）A．1157 B．1177 C．1155 D．11222．（2024·全国·模拟预测）（多选）《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（

）A．2 B．9 C．11 D．133．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.

考点九、等差数列奇偶项的和1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则．3．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，且，，，则（

）A． B．C． D．为奇数时，5．（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.1．（22-23高一下·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．272．（2021·山东济南·二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为.4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有.(1)求证：数列为等差数列；(2)令，求数列的前项和.5．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.(1)求，；(2)设，求数列的前8项和.考点十、等差数列的证明1．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.2．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求的前n项和.2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)证明：数列是等差数列；(2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值．2024．2024．一、单选题1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（

）A．4 B． C． D．2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在等差数列中，，则（

）A．130 B．260 C．320 D．520二、多选题3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列三、填空题4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在等差数列中，，则的前19项和．5．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则．四、解答题6．（2024·浙江·三模）已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且.(1)求数列的通项公式;(2)求.7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)记是数列的前项和，证明:.9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．(1)求数列的公差；(2)若，求数列的前n项和．10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和.一、单选题1．（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为三、填空题4．（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为．5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则．四、解答题6．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.7．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足；①求证：数列是等差数列；②若，设数列的前n项和为，求证：．9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，且对任意均有．(1)设，证明为等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)已知，求．10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列满足：，，其中为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．(1)求的通项公式和．(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及前项和．5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）