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Page第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。知识讲解奔驰定理如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.奔驰定理的证明如图：延长与边相交于点则奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.考点一、奔驰定理与四心问题综合1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心3．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心1．若是内一点，且，则为的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心2．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（
）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心4．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（
）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心5．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心6．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（
）A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心考点二、奔驰定理与其他问题综合1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（
）A．B．C．D．2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（
）
A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若为的外心，则D．若为的垂心，，则1．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（
）A． B． C． D．2．（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（
）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（
）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则一、单选题1．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心2．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心3．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（
）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心5．若为所在平面内一点，且则点是的（
）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心6．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（
）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心7．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心8．已知点在平面中，且，则点是的（
）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心9．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(
)A． B． C． D．10．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（
）
A．若，则O为△ABC的重心B．若，则C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则二、多选题12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（
）A．O为的外心 B．C． D．13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（
）A．若，则为的重心B．若，则C．若，，，则D．若为的垂心，则14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（
）A．若，则M为的重心B．若M为的内心，则C．若，，M为的外心，则D．若M为的垂心，，则15．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（
）A．B．C．D．三、填空题16．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的心.17．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P是的重心，则有；②若成立，则P是的内心；③若，则；④若P是的外心，，，则；⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.则正确的命题有.（填序号）
19．年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世
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