第04讲 导数与函数的极值、最值（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第04讲导数与函数的极值、最值（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第10题,6分求已知函数的极值点利用导数求函数的单调区间2024年新Ⅱ卷，第11题,6分极值与最值的综合应用利用导数研究具体函数单调性函数对称性的应用利用导数研究函数的零点判断零点所在的区间2024年新Ⅱ卷，第16题,15分根据极值求参数求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究含参函数单调性2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值(不含参)基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长2023年新Ⅱ卷，第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围2023年新Ⅱ卷，第22题,12分根据极值点求参数利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零点2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值(不含参)锥体体积的有关计算球的体积的有关计算多面体与球体内切外接问题2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点求在曲线上一点处的切线方程(斜率）利用导数研究函数的零点2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值(含参)利用导数研究方程的根2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值(不含参)无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习知识讲解函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．（3）极值与导数的关系是极值点是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点一、求函数的极值或极值点1．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．3．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．1．（2024·湖南长沙·三模）已知函数（）.(1)求函数的极值；(2)若集合有且只有一个元素，求的值.2．（2024·浙江温州·三模）设函数的导函数为.(1)求函数的单调区间和极值；(2)证明：函数存在唯一的极大值点，且.（参考数据：）3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数的导函数为.(1)证明：函数有且只有一个极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围.考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围1．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．3．（2023·全国·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.4．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数的一个极值为．(1)求实数的值；(2)若函数在区间上的最大值为18，求实数与的值．2．（2024·重庆·模拟预测）已知(1)若在处的切线平行于x轴，求a的值；(2)若存在极值点，求a的取值范围．3．（2023·湖南郴州·一模）已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，.(1)求函数单调区间；(2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围.考点三、利用导数求函数最值1．（2024·安徽·三模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，求函数在上的最值.2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数在区间上的最大值．1．（2024·山东泰安·三模）已知函数.(1)讨论的最值；(2)若，且，求的取值范围.2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；(2)判断函数的零点个数，并证明.3．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．考点四、由函数最值求参数值或范围1．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．（2024·海南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求的值.3．（2024·四川·模拟预测）已知函数．(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；(2)若函数的最小值为，求的值．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有最大值，求实数的值．2．（2024·陕西西安·一模）已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若的最小值为1，求．3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)若的最小值为6，求实数的值．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数和函数有相同的最大值.(1)求a的值；(2)设集合，（b为常数）.证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素.考点五、选填小题中极值的应用与求解1．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心4．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．1．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为.2．（2023·全国·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，4．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线一、单选题1．（2024·河北承德·二模）设为实数，若函数在处取得极小值，则（

）A．1 B． C．0 D．2．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的极值点为B．的极值点为1C．直线是曲线的一条切线D．有两个零点三、填空题4．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为．四、解答题5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围．6．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求实数a，b的值；(2)求的单调区间和极值．7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的单调性．8．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．9．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．10．（2024·重庆·模拟预测）已知函数在时取得极值.(1)求实数；(2)若，求的单调区间和极值.一、单选题1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（

）A． B． C． D．2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（

）A． B．C．在上单调递减 D．4．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为．四、解答题6．（2024·广东茂名·二模）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；(2)若，求函数在区间上的最大值.7．（2024·河南开封·三模）已知函数，为的导函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值．8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，(1)求的值;(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.9．（2024·福建泉州·一模）设函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，若的值域为，证明：．10．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数(1)当时，求的零点；(2)若恰有两个极值点，求的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点2．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．4．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.5．（2019·江苏·高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是