第03讲 平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高阶拓展）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷文数，第6题,5分用基底表示向量数量积的运算律数量积的坐标表示2022年新I卷，第3题,5分用基底表示向量无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。知识讲解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.形如条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线当，则与位于同侧，且位于与之间当，则与位于两侧时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上（2）已知在线段上，且，则3、中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解考点一、基底的概念及辨析1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.【详解】选项A中，设，无解，则两向量不共线；选项B中，设，则，无解，则两向量不共线；选项C中，设，则，无解，则两向量不共线；选项D中，，所以两向量是共线向量．故选:D.【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.故选：D1．（2023·陕西西安·一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.故选：C2．（2023高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据基底的概念确定正确答案.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C考点二、平面向量的基本定理综合1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．2．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，是的中点，与相交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.【详解】设，由是的中点，得，由，得，所以，且，由与相交于点可知，点在线段上，也在线段上，由三点共线的条件可得，解得，所以.故选：B1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知=，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在中，取为基底，则，因为点分别为的中点，,所以，所以.故选：B.3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】

由题意三点共线，所以存在，使得，同理三点共线，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故选：C.考点三、“爪子定理”的综合应用1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（）A.B.C.D.答案：A解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A.B.C.D.解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A.B.C.D.解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知；即可得.故选：C2．（2024·广东广州·一模）已知在中，点在边上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在中，，又点在边上，且，则，故选：A.

3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.【详解】∵，∴，故选：B．4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可.【详解】当点在线段上时，如图，，所以，当点在线段的延长线上时，如图，，则，故选：BC.1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；对B：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；对C：对和，因为是不共线的两个非零向量，且存在实数，使得，故和共线，不可作基底；对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.故选：C.2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在中，，，，，所以.

故选：A3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的线性运算，用表示【详解】因为，则有，所以.故选：B．4．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.【详解】因为为边的中点，，所以.故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形的边长为2，为的中心，，垂足为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接并延长，交于点，根据为的中心，易得为的中点，E为的中点，利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图所示：

连接并延长，交于点，因为为的中心，所以为的中点．又为的中点，，，故选：B．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形中，为线段的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用向量和三角形减法法则得，再对它们进行线性运算转化为，此时继续找到，从而可得结果.【详解】由图可得：，由为线段的中点可得，，再由可得，，又因为，代入得：，故选：A.7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形中，为中点.为线段上靠近点的四等分点，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得，而，故选：C.8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得，而.故选：C．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在中，由，，得.故选：A10．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，由中线性质可得，又，所以，因此.故选：B一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】，故选：D．

2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，设，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.【详解】设，由平面向量的基本定理，可得：当时，此时点P在直线BD上；当时，此时点P在点A和直线BD之间；当时，此时点P在点C和直线BD之间；当时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，对于A中，由向量，满足，所以点在内部，所以A错误；对于B中，由，满足，所以点在上，所以B错误；对于C中，由，满足，所以点可能在内部，所以C正确；对于D中，由，满足，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，所以D错误.故选：C.3．（2023·湖南·一模）在中，点满足为重心，设，则可表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.【详解】..故选：C4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.【详解】，，，，，，，．故选：D．5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为基底可表示出，由三点共线可构造方程求得，将所求数量积化为，根据数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】，，，，，，三点共线，，解得：，，.故选：A.6．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解.【详解】由，得.因为共线，所以，解得.故选：B.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为.【详解】如下图所示：因为，易知，又，所以，易知三点共线，利用共线定理可得，又，，所以；当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.【详解】，故A正确，B错误；因为，所以，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则；点是线段上的一个动点，则的最大值为．

【答案】/【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】

设，由题意可知，，则，因为不共线，所以有，此时；可设，则，当重合时取得等号.故答案为：；.10．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则；若点P满足与共线，，则的值为.【答案】/或【分析】把两边用表示即可得解；利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合第一空把用表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】，∴，∴，则，又，∴，所以；∵与共线，∴可设，，∵，∴，∴=，=，∴=，①∵，∴，，，②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴或，故的值为或．故答案为：；或．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，