第02讲 平面向量的数量积（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮VIP

Page第02讲平面向量的数量积（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示2024年新Ⅱ卷，第3题,5分数量积的运算律已知数量积求模垂直关系的向量表示模长的相关计算2023年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数平面向量线性运算的坐标表示2023年新Ⅱ卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算2022年新Ⅱ卷，第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示坐标计算向量的模逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15题,5分数量积的运算律无2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用5会用数量积解决向量中的最值及范围问题【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。知识讲解1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示数量积|a||b|cosa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．考点一、求平面向量的数量积1．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数【答案】【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】，，解得.故答案为：3．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.【详解】由已知有，，，所以．已知是AC的中点，则，，所以，则．故选：D．1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.2．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则．【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示求出和，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】，即，，，，，.故答案为：.3．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．4．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（

）A． B． C．9 D．18【答案】C【分析】将把与用来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.【详解】，，.故选：C.考点二、辨析数量积的运算律1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.2．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.【详解】若，则，因为为非零的平面向量，所以，或，所以甲不是乙的充分条件，反过来，，能推出，所以甲是乙的必要条件.综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.故选：B3．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．4．（2023·全国·模拟预测）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与垂直 D．【答案】C【分析】利用平面向量的运算求解.【详解】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线，所以不会同时与垂直，所以与不会同时为0，所以，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数）选项B：，由于，（点拨：向量夹角的取值范围是）所以，故B错误；选项C：因为，且由A知与不相等，所以与垂直，（点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确；选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设，从而，在中，两边之差小于第三边，所以，（提示：不共线，所以中的等号不成立）故D错误．故选:C.5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．【答案】ACD【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.【详解】对于A，若，则不一定有，A错误；对于B，根据分配律即可得到，B正确；对于C，若，则可能，那么，C错误；对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.故选：ACD考点三、模长综合计算1．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（

）A．2 B． C．2或 D．3或【答案】D【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.【详解】，即，解得或.故选：D.4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，向量满足，且，则（

）A． B．5 C． D．25【答案】B【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.【详解】由于向量，可得，由，得，故，得，得或(舍去)．所以故选：B1．（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，从而可得，从而可求解.【详解】若，则，即，解得.故A正确.故选：A.2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，则的最小值为.【答案】【分析】根据复数的坐标运算和复数模的坐标表示得到，再利用二次函数性质即可得到答案.【详解】，所以.当时等号成立.故答案为：.3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（

）．A． B． C．4 D．2【答案】D【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．【详解】由得，，又，则．故选：D.4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量满足：，，，且，，则.【答案】/【分析】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案.【详解】因为，所以，因为，，，，所以，，因为，，所以.故答案为：.考点四、夹角综合计算1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，由且，不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.【详解】因为，，所以；因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示，是中档题.1．（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解.【详解】因为和是单位向量，所以又因为，所以，所以，所以，又，所以向量与向量的夹角为.故选：B.2．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为.【答案】/【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】，令，则，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为．故答案为：3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法则可得，两边同时平方可得，由平面向量的夹角公式求解即可.【详解】因为平面四边形中，点分别为的中点，所以，所以，由可得：，两边同时平方可得：，所以，解得：，所以.故选：A.4．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则．【答案】/0.8【分析】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解.【详解】由题，故即，，；，故即，，；，故即，，，所以，且，，所以.故答案为：.考点五、垂直综合计算1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.2．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．1．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A，因为，所以不垂直，故A错误；对于B，因为，所以不垂直，故B错误；对于C，因为，所以不垂直，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：D2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故选：D3．（2023·浙江宁波·一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.【详解】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B.4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解.【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得；当时，，即，解得．故选：C考点六、求投影向量1．（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.【详解】依题意，，所以在上的投影向量为.故选：A2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得.【详解】因为，，所以，得，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量的定义，即可求解.【详解】在方向上的投影向量为，即，①在方向上的投影向量为，即，②由①②得，又，所以.故选：D4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，由，可得的角平分线与垂直，所以为等腰三角形，且，又，得，所以，又，所以,所以为等边三角形，所以向量在向量上的投影向量为，故选：B.1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得.【详解】因为是单位向量，且，两边平方得，，即（*），由在上的投影向量为，可得，所以，即，代入（*）可得，，即，所以，因为，所以．故选：B．2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.【详解】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B3．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得的值,得到和的坐标，即可利用投影向量的公式进行求解.【详解】由得.由得.所以.所以，所以在上的投影向量为，故选:D.4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.【详解】在直角梯形中，且，过作于，则，故，从而.因此，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设点，根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，设点，则，则在上的投影向量为.故选：C考点七、数量积范围的综合问题1．（湖南·高考真题）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围.【详解】因为关于的方程有实根，所以，所以，因为均是非零向量，且，所以，因为，所以，故选：B.2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

3．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.【详解】如图，设，，，点在圆上，点在圆上，则，，由可得：，作矩形,则.下证：.设交于点，连接,因则，同理可得：，两式左右分别相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故选:C．【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.【详解】

如图，取线段的中点，连接，则，由，因直线经过点，考虑临界情况，当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.故的范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可.2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．【详解】设，（且），则（且），则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；则在上的投影向量的长度的取值范围是．故选：B.3．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.【详解】为单位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，则，当且仅当与方向相反时“”成立，如取时，可使“”成立.所以.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】由双曲线方程可知：，可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为（即），半径为．连接，，，，则，可得，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.一、单选题1．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得.【详解】因为，所以，，故，所以.故选：C.2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A；根据及数量积的坐标表示求出，即可判断B；表示出，，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D.【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：因为，，显然，故C正确；对于D：，故D错误.故选：D3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可.【详解】由两边平方得，，所以，所以，所以，故选：D.4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B.5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用转化法求得，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.【详解】因为向量均为单位向量，即，且，，则，两边平方可得，即，所以，又，所以与的夹角为．故选：C．6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，将两边同时平方，即可求解.【详解】设向量夹角为，两边平方得则，又，即，解得.故选：A.7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得.【详解】由可得，因，故时，，即的最小值为.故选：B．二、填空题8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则.【答案】【分析】利用向量的加法结合数量积的定义求解.【详解】故答案为：9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量，满足，则m的值为.【答案】【分析】根据向量坐标运算得，结合得到计算得到答案；【详解】根据题意，向量，，因为，所以，则.故答案为：.10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则.【答案】【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解.【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，，所以.故答案为：一、单选题1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角.【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，由于，所以.故选：B2．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．【详解】由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，则，故，又，设，则，当且仅当时等号成立，由可知，，故的最大值为．故选：A．3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l与过点；乙：（O为坐标原点），则（

）A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用巧设的直线与抛物线联立方程组，用坐标运算来研究向量积，再分析充要关系，即可得解.【详解】因为直线的斜率不可能为0，所以可设直线的方程为，与抛物线联立，消去得：，再设，则，所以，由，当直线经过点时，，则，此时甲是乙的充分条件；当时，解得或，即直线经过点或，此时甲不是乙的必要条件；故选：B.4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得到，化简得，代入即可.【详解】向量满足，,即,,,故选：A.5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出，再借助平行四边形定则画图可解.【详解】如图，设的中点为，则，所以，，则．设，由于，则，则．假如的起点均为，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点如图所示，所以．故选：A．6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形中，，，，，所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，则,，其中锐角满足，故的最大值为,故选：A.二、多选题7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量为【答案】AB【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．【详解】，，故A正确；，所以，故B正确；，所以，又因为，所以，故C错误；在上的投影向量为，故D错误；故选：AB．8．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为【答案】ACD【分析】对于A，当时，计算即可；对于B，由，即存在实数，使得，计算得即可；对于C，由得，两边平方结合二倍角公式即可；对于D，由向量的模运算得即可.【详解】由题意可知，，对于A，当时，，所以,即，故，故A正确；对于B，因为，所以存在实数，使得，即，解得，故或，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，因为，所以，其中，所以当时，，故D正确.故选：ACD.9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（

）A．在上的投影向量为B．C．D．若，则【答案】BD【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误，对于选项B，，故选项B正确，对于选项C，，显然时，不成立，故选项C错误，对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确，故选：BD．【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可.三、填空题10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.【答案】6【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解.【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，所以，，则；，显然，当为的中点时，，所以故答案为：6；．1．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【答案】【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．【答案】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

4．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B6．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．8．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.9．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为【答案】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.12．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则．【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.14．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．【答案】1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.15．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：